1、3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程一、选择题1点 A(3,1,5),B(4,3,1)的中点坐标是( )A. B.(72,1, 2) (12,2,3)C. D.( 12,3,5) (13,43, 2)答案 B解析 由中点坐标公式可得 B.2已知点 A(3,3,5) ,B(2,3,1),C 为线段 AB 上一点,且 ,则点 C 的AC 23AB 坐标为( )A( , , ) B( ,3,2)72 12 52 38C( ,1,1) D( , , )73 52 72 32答案 C解析 设 C(x,y ,z), ( x3,y3,z5)AC (1,6,6)23解得 x ,y1,z1.733若异面直
2、线 l1,l 2 的方向向量分别是 a(0,2,1),b(2,0,4),则异面直线 l1与 l2 的夹角的余弦值等于( )A B.25 25C D.255 255答案 B解析 ab4,|a| ,| b|2 ,5 5cos|cosab| .|ab|a|b| | 410| 254已知向量 a(2,3,5),b(3 ,x ,y) 分别是直线 l1、l 2 的方向向量,若 l1l 2,则( )Ax ,y15 Bx 3,y92 152Cx 3,y 15 Dx ,y92 152答案 D解析 l 1 l2,a b, ,32 x3 y5x ,y .92 1525已知 a,b 是异面直线,A,Ba,C ,Db,
3、ACb,BDb 且 AB2,CD1,则 a 与 b 所成的角是( )A30 B45 C60 D90答案 C解析 直线 a,b 的方向向量分别为 , ,AB CD ,AB AC CD DB CD ,AB CD AC CD 2 DB CD 即 21cos , 1AB CD cos , ,AB CD 12即 , 60.故选 C.AB CD 6已知点 A(4,1,3),B(2,5,1) ,C 为线段 AB 上一点且 ,则点 C 的坐标为( )|AC |AB | 13A. B.(72, 12,52) (38, 3,2)C. D.(103, 1,73) (52 72,32)答案 C解析 设 C(x,y ,
4、z),C 为线段 AB 上一点且 .|AC |AB | 13 ,AC 13AB 即(x4 ,y1,z3) (2,6,2),13x ,y1,z .103 737如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F、G 、H 分别是 AA1、AB、BB 1、B 1C1的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( )A45 B60C90 D120答案 B解析 取 D 点为坐标原点,DA ,DC,DD 1 为 x,y,z 轴建系,设棱长为 1,则 , ,EF (0,12, 12) GH ( 12,0,12)cos , .EF GH 1422 22 12 , 120,EF GH 异面直线 EF,G
5、H 成 60角8在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB1,BC 1 的中点,则以下结论中不成立的是( )AEF 与 BB1 垂直BEF 与 BD 垂直CEF 与 CD 异面DEF 与 A1C1 异面答案 D解析 建立空间直角坐标系后,验证 A、B、C 正确,故选 D.9在正方体 AC1 中,PQ 与直线 A1D 和 AC 都垂直,则直线 PQ 与BD1 的关系是( )A异面直线 B平行直线C垂直不相交 D垂直且相交答案 B解析 取 D 点为坐标原点建系后,(1,0,1) , (1,1,0),DA1 AC 设 ( a,b,c ),则Error!PQ 取 (1,1 ,1)
6、PQ (0,0,1) (1,1,0)( 1,1,1) ,BD1 PQ ,PQ BD 1.PQ BD1 10已知直线 l1 的方向向量 a(2,4,x),直线 l2 的方向向量 b(2 ,y,2),若|a| 6,且 a b,则 x y 的值是( )A3 或 1 B3 或1C3 D1答案 A解析 |a|6,x4.又 ab,2yx 20.当 x4 时 y3,x y1;当 x4 时 y1,x y3.故选 A.二、填空题11已知点 A、B、C 的坐标分别为(0,1,0) 、(1,0,1)、(2,1,1),点 P 的坐标为(x,0,z) ,若 PAAB,PA AC ,则 P 点的坐标为_答案 (1,0,2
7、)解析 由已知, (1,1,1), (2,0,1), (x,1,z),AB AC PA 由Error! ,得Error!,解得Error! .P(1,0,2) 12已知 A(3,4,0),B(2,5,5) ,C(0,3,5),且 ABCD 是平行四边形,则点 D 的坐标为_答案 (1,2,0)解析 (2,2,0),而 ,BC AD BC (2,2,0)(3,4,0)(1,2,0),OD BC OA D 点坐标为(1,2,0) 13已知直线 l 的方向向量 v(2,1,3) ,且过 A(0,y,3)和 B(1,2,z) 两点,则y_,z _.答案 32 32解析 v ,而 (1,2y,z3)AB
8、 AB 12 2 y 1 z 33y ,z .32 3214已知两异面直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,若 cosv 1,v 2 ,则 l112与 l2 所成的角为_ 答案 60解析 由异面直线夹角的范围可得三、解答题15已知 A(4,1,3),B(2,3,1) ,C(3,7,5) ,若点 P(x, 1,3)在平面 ABC 内,求 x 的值解析 (2,22),AB (1,6,8), (x 4,2,0) AC AP 因为点 P 在平面 ABC 内,则存在一对实数 ,使得 .AP AB AC 故Error! 解得 x11.16已知三棱锥 OABC 中,OAOB 1,OC2,O
9、A,OB,OC 两两垂直,试找出一点 D,使 BDAC,DC AB?解析 建立如右图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点 D(x,y , z)由 BDAC,DCAB . ,BD AC DC AB 因此Error!Error! 即 D 点的坐标为 ( 1,1,2)17如图,点 O 是正ABC 平面外一点,若OAOBOCAB 1,E、 F 分别是 AB、OC 的中点,试求 OE与 BF 所成角的余弦解析 设 a, b, c ,则OA OB OC abbcca ,|a| |b| c|1,12 (ab)OE BF 12 (12c b)12(12ac
10、12bc ab |b|2) ,12(14 14 12 1) 12cos , .OE BF OE BF |OE |BF | 1232 32 23OE 与 BF 所成角的余弦为 .2318如图所示,在长方体 OABCO 1A1B1C1 中,| OA|2,| AB|3,|AA 1|2,E 是 BC的中点(1)求直线 AO1 与 B1E 所成角的大小;(2)作 O1DAC 于 D,求点 O1 到点 D 的距离解析 如图所示,建立空间直角坐标系(1)由题设知,A(2,0,0) ,O 1(0,0,2),B1(2,3,2),E (1,3,0) ( 2,0,2), ( 1,0,2) AO1 B1E cos .AO1 B1E 2210 1010AO 1 与 B1E 所成角的大小为 arccos .1010(2)由题意得 , .O1D AC AD AC C(0,3,0) ,设 D(x,y, 0), ( x,y,2), (x2,y,0),O1D AD (2,3,0)AC Error! Error!D( , , 0)18131213| |O1D (f(18,13) 0)2 (f(12,13) 0)2 (0 2)2 .228613