1、小专题( 三 ) 利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题,平面( 或曲面 )上的最短路线问题是数学中常见的一种最值问题,勾股定理及其逆定理是解决这类问题的一大利器.求最短路线问题,首先要把实际问题转化成含有直角三角形的数学模型,再根据“两点之间,线段最短”的数学事实通过勾股定理( 或逆定理 )得出最短路线.如果求曲面上的最短路线,还要通过转化的方法先将曲面展开得到一个熟悉的平面图形,然后再通过平面图形来解决.,类型1,类型2,平面上的最短路径问题 1.如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC,点M在AC边上,且AM=1,MC=4,动点P在AB边上,连接PC,PM,则PC+PM的最小值(
2、C ),2.如图,在ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为( D )A.4.8 B.8 C.8.8 D.9.8,类型1,类型2,3.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作ABBD,EDBD,连接AC,EC,AB=5, DE=1,BD=8,设CD=x.( 1 )直接写出AC+CE的值;( 用含x的代数式表示 ) ( 2 )求AC+CE的最小值.,类型1,类型2,4.如图,A,B两个村子在河CD的同侧,A,B两村到河的距离分别为AC=1 km,BD=3 km, CD=3 km.现在河边CD上建一水厂向A,B两村输送自来水,铺设水管的费用为20
3、000元/km.( 1 )请你在河CD边上作出水厂的位置O,使铺设水管的费用最省; ( 2 )求出铺设水管的总费用.,类型1,类型2,曲面上的最短路径问题 5.如图,一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B,则它走过的路程最短为( D ),类型1,类型2,7.图1为一个无盖的正方体纸盒,现将其展开成平面图,如图2.已知展开图中每个正方形的边长为1.( 1 )求该展开图中可画出的最长线段的长度,并求出这样的线段可画几条; ( 2 )试比较立体图中ABC与平面展开图中ABC的大小关系.,类型1,类型2,解:( 1 )最长线段如图中的AC,在RtACD中, CD=1,AD=3,由勾股定理得AC= . 这样的线段可画4条( 另三条用虚线标出 ). ( 2 )由题可知,ABC=90. 在平面展开图中,连接线段BC.,AB2+BC2=AC2, 由勾股定理的逆定理可得ABC为直角三角形, ABC=90,ABC与ABC相等.,
