1、04 课后课时精练一、选择题1. 已知三棱锥 SABC 中，SA，SB，SC 两两互相垂直，底面ABC 上一点 P 到三个面 SAB，SAC，SBC 的距离分别为 ，1， ，2 6则 PS 的长度为( )A. 9 B. 5C. D. 37解析：由题意可分别以 SA，SB，SC 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则点 S 的坐标为(0,0,0)，点 P 的坐标为( ，1， )，6 2由两点之间的距离公式可得|PS| 3.6 1 2答案：D2. 2012陕西高考如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1，CACC 12CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为(
2、)A. B. 55 53C. D. 255 35解析：不妨设 CB1，则 B(0,0,1)，A (2,0,0)，C 1(0,2,0)，B1(0,2,1) (0,2，1) ， (2,2,1)BC1 AB1 cos ， ，故选 A.BC1 AB1 BC1 AB1 |BC1 |AB1 | 0 4 153 55答案：A3. 2013陕西省高新一中期末考试 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCDA 1B1C1D1，AB 1，BC 2， AA13，则点 B 到直线A1C 的距离为( )A. B. 27 2357C. D. 1357解析：本题主要考查空间点到直线的距离，过点 B 作 BE 垂直A1C，垂
3、足为 E，设点 E 的坐标为(x ，y，z)，则 A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)， (1,2 ， 3)， (x，y，z3)，A1C A1E (x1， y，z)BE 因为Error!所以Error!解得Error!所以 ( ， ， )，所以BE 27107 67点 B 到直线 A1C 的距离| | ，故选 B.BE 2357答案：B4. 如图，在空间直角坐标系 Dxyz 中，四棱柱ABCDA 1B1C1D1 为长方体，AA 1AB2AD，点 E、F 分别为C1D1、 A1B 的中点，则二面角 B1A 1BE 的余弦值为( )A. B. 33 32C. D. 33 32解析
4、：本题考查空间直角坐标系中的线段中点、二面角等基础知识设 AD1，则 A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为 E、F 分别为C1D1、 A1B 的中点，所以 E(0,1,2)，F(1,1,1) ，所以 ( 1,1,0)，A1E (0,2，2)，设 m(x，y，z)是平面 A1BE 的法向量，则Error!A1B 所以Error!所以Error!取 x1，则 yz 1，所以平面 A1BE 的一个法向量为 m(1,1,1)，又 DA平面 A1B1B，所以 (1,0,0)是DA 平面 A1B1B 的一个法向量，所以 cosm， ，DA mDA |m|DA | 13 33又二面角 B1A 1BE
5、为锐二面角，所以二面角 B1A 1BE 的余弦值为 ，故选 C.33答案：C5已知在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC1 ，AA 12， E 是侧棱 BB1 的中点则直线 AE 与平面A1ED1 所成角的大小为( )A60 B90C 45 D以上都不正确解析：结合图形，以点 D 为原点，DA、DC、DD 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如下图由题意知，A 1(1,0,2)、E (1,1,1)、D 1(0,0,2)，A(1,0,0)， (0,1，1)， (1,1，1)， (0，1，1) A1E D1E EA 设平面 A1ED1 的一个法向量为 n(x，y ，
6、z) ，则Error!Error!令 z 1，得 y1，x0.所以 n(0,1,1)，cosn， 1.EA nEA |n|EA 22 2所以n， 180.所以直线 AE 与平面 A1ED1 所成的角为EA 90.答案：B6P 是二面角 AB 棱上的一点，分别在 、 半平面上引射线 PM、 PN，如果 BPMBPN 45，MPN60，那么二面角的大小为( )A60 B70C 80 D90解析：不妨设 PMa ，PNb，作 MEAB 于点 E，NFAB于点 F，如下图所示BPMBPN45，PE ， PF ，a2 b2 ( )( )EM FN PM PE PN PF PM PN PM PF PE P
7、N PE PF abcos60a cos45 bcos45 b2 a2 a2b2 0.ab2 ab2 ab2 ab2 .EM FN EM、FN 分别是 、 内与棱 AB 垂直的直线，EM 与 FN 之间的夹角就是所求二面角，即 AB 的大小为 90.答案：D二、填空题7空间四点 A(2,3,1)，B (4,1,2)，C(6,3,7)，D(3,1,0)，则点 D 到平面 ABC 的距离是_ 解析： 本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间点到平面的距离的求法由已知得 (2，2,1) ， (4,0,6)，设平面 ABCAB AC 的法向量 n( x，y，z )，则Error!，即Error!，令 x
8、3，则y2，z 2，所以 n(3,2，2)， (1，2，1)，所以点AD D 到平面 ABC 的距离 .|AD n|n| 1717答案：17178. 2013辽宁大连一模长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABAA 12，AD1， E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为_解析：建立坐标系如图，则 A(1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)， (1,2,1)，BC1 AE cos ， .BC1 AE BC1 AE |BC1 |AE | 3010所以异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 .3010答案：30
9、109. 四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，ABCD 是正方形，且 PDAB1，G 为 ABC 的重心，则 PG 与底面 ABCD 所成的角 的正弦值为_解析：本题主要考查向量法求线面角，考查三角形重心坐标公式分别以 DA， DC，DP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0) ，则重心 G( ，0)，因而2323 (0,0,1)， ( ， ，1)，那么 sin|cos ， | DP GP 23 23 DP GP .|DP GP |DP |GP | 31717答案：31717三、解答题10已知正四棱锥 RABC
10、D 的底面边长为 4，高为 6，点 P 是高的中点，点 Q 是侧面 RBC 的重心求：(1)异面直线 PQ 与 BR 所成的角的余弦值；(2)直线 PQ 与底面 ABCD 所成的角的余弦值解：以正四棱锥的底面中心 O 为原点，过 O 平行于 AD 的直线为 x 轴，过 O 平行于AB 的直线为 y 轴，OR 为 z 轴建立空间直角坐标系，如右图所示则 R(0,0,6)，B(2,2,0)，C(2,2,0)，因为 P 是 RO 的中点，Q 是RBC 的重心，所以 P(0,0,3)，Q(0，2)43(1) (0， ，1) ， (2，2,6)，PQ 43 BR 所以|cos ， | ，所以异面直线 P
11、QPQ BR | 26353211| 131155与 BR 所成角的余弦值为 .131155(2)因为 RO底面 ABCD，所以 RE 在底面的射影为 OE，因为QRE，所以 Q 在底面上的射影在 OE 上，所以直线 PQ 在底面上的射影为直线 OE，所以 PQ 所在的直线与 OE 的夹角为 PQ 与底面ABCD 所成的角，因为 E(0,2,0)，所以 (0,2,0)，所以 cos ，OE PQ ，所以直线 PQ 与底面 ABCD 所成的角的余弦值OE 83532 45是 .45112014 福建高考在平面四边形 ABCD 中，ABBD CD1，ABBD，CDBD.将ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD 平面 BCD，如图(1)求证： ABCD；(2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值解：(1) 平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面BCDBD ， AB平面 ABD，ABBD，AB 平面 BCD.又 CD平面 BCD，ABCD.
