1、下列命题中，是真命题的为_( 填序号) 1.二面角的大小范围是大于 0且小于 90；一个二面角的平面角可以不相等；二面角的平面角的顶点可以不在棱上；二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直解析：二面角的大小范围是0，180 ，故不正确；一个二面角的平面角可以有许多个，由等角定理，这些平面角必相等，故为假命题；由二面角的平面角的定义可知不正确；由线面垂直的判定定理可知正确答案：过直二面角 l 的面 内的一点 P 作 l 的垂线 a，给出以下四个命题：a；垂2.线 a 是惟一的；垂线 a 有无数条，且它们共面；垂线 a 有无数条，且它们都不与 垂直其中正确的命题为_(写出所有正确的命题序号)解析：
2、条件只说明 a 上有一点 P 在 内，所以垂线 a 可以在 内，也可以不在 内答案：下列说法中正确的是_( 填序号) 3.若平面 和平面 分别过两条互相垂直的直线，则 ；若平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条平行直线，则 ；若平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线，则 ；若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .解析：本题考查的是对垂直关系的定义的理解，同学们要走出“无数”的误区，如中，可举反例如两平面相交、平行等答案：锐二面角 l，直线 AB ，AB 与 l 所成的角为 45，AB 与平面 成 30角，则4.二面角 l 的大小为_解析：如图，作 AOl 于 O，作 AC
3、 于 C，连结 BC，OC.在 RtAOB 中，设 AB1，则 AO ，22在 RtACB 中，ABC 30，AC AB ，12 12在 RtACO 中，sin AOC ，ACAO1222 22AOC45.答案：45如图，把边长为 a 的正三角形 ABC 沿高线 AD 折成 60的二面角，这时顶点 A 到 BC 的5.距离是_解析：在翻折后的图形中，BDC 为二面角 BADC 的平面角，即BDC60，AD平面 BDC.过 D 作 DEBC 于 E，连结 AE，则 E 为 BC 的中点，且 AEBC，所以 AE 即为点 A 到BC 的距离易知，AD a，BCD 是边长为 的等边三角形，所以 DE
4、 a，AE32 a2 34 a.AD2 DE2154答案： a154A 级 基础达标自正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA平面 ABCD，若 ABPA，则平面 PAB 和平面 PAD 所1.成二面角大小是_解析：画出图形，BAD 即为所求二面角的平面角BAD90，所求二面角为 90.答案：90用 a，b，c 表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列说法：2.若 ab，bc，则 ac ；若 ab，bc，则 ac ；若 a，b ，则 ab；若 a，b ，则 ab.其中正确说法的序号为_解析：由平行公理可知正确；不正确，若三条直线在同一平面内，则 ac；不正确，a 与 b 有可能平行，也有可能异面
5、或相交；由线面垂直的性质可知正确答案：已知 PA矩形 ABCD 所在平面(如图)，则图中互相垂直的平面有_对3.解析：面 PAD面 ABCD，面 PAB面 ABCD，面 PAB面 PBC，面 PDC面 PAD，面PAD面 PAB.答案：5已知平面 平面 ， l ，点 A，Al ，直线 ABl，直线 ACl，直线4.m，m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是_(填序号) ABm；ACm；AB ；AC .解析：如图所示：ABl m；AC l，mlAC m ；ABl AB .答案：将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABD C，有如下四个结论：5.ACBD；ACD 是等边三角形；A
6、B 与平面 BCD 成 60的角；AB 与 CD 所成的角为 60.其中正确结论的序号是_(写出所有你认为正确的结论的序号)解析：如图，连结对角线 AC、BD，交于点 O，则 AO BD，COBD.BD平面 OAC，BDAC，OAOCOD，且两两垂直，ACCDAD，ACD 是等边三角形ABO45为 AB 与平面 BCD 所成的角，取 AD、AC 的中点 E、F ，易证 OEEFOF CD.12OEF 为等边三角形，AB 与 CD 成 60角正确答案：如图，四边形 ABCD 是正方形，PB平面 ABCD，MA平面 ABCD，PBAB 2MA.6.求证：(1)平面 AMD面 BPC；(2)平面 P
7、MD面 PBD.证明：(1)PB平面 ABCD，MA平面 ABCD，PBMA.MA 平面 BPC，PB平面 BPC，MA平面 PBC，同理 AD平面 PBC.又MAAD A，平面 AMD平面 BPC.(2)连 AC 交 BD 于 O，取 PD 中点 N，连结 ON、MN，/MA PB，ON PB， MA NO，12 12四边形 MAON 为平行四边形， MNAO .AOBD ，PB平面 ABCD，AO 平面 ABCD.AOPB，AO平面 PBD，MN平面 PBD.又MN平面 PMD，平面 PMD平面 PBD.如图，已知平面 平面 AB ，平面 ， CD，CDAB.求证： .7.证明：在平面 内
8、作直线 MNCD ，N 为垂足( 图略)平面 平面 ，则 MN，而 AB ，ABMN.由已知 ABCD，且 CDMNN，AB平面 ，又 AB平面 ， .B 级 能力提升已知 E 是正方形 ABCD 的边 BC 的中点，沿 BD 将ABD 折起，使之成为直二面角，则8.AEB _解析：在折起后的空间图形中，过 A 作 AOBD 于 O，则 O 为 BD 的中点，由折起后的图形是直二面角，可得 AO平面 BCD，BCAO.连结 OE，则 OECD，BCOE，故BC平面 AOE，从而AEB 90.答案：90(2010高考四川卷)如图，二面角 l 的大小是 60，线段 AB ，Bl ，AB 与 l9.
9、所成的角为 30，则 AB 与平面 所成的角的正弦值是_解析：如图，过点 A 作 ACl，垂足为 C，AD ，垂足为 D，连结 CD、BD.由题意知ACD60，ABC30，ABD 即为 AB 与平面 所成的角设 ACa，则 AB2a，AD a，32sinABD .32a2a 34答案：34在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，MA平面10.ABCD，PD MA，E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点求证：平面 EFG平面 PDC.证明：因为 MA平面 ABCD，PDMA，所以 PD平面 ABCD.又 BC平面 ABCD，所以 BCDC.又 PDDCD，所以 PDBC .因为四
10、边形 ABCD 为正方形，所以 BCDC .又 PDDCD，所以 BC 平面 PCD.在PBC 中，因为 G、F 分别为 PB、PC 的中点，所以 GFBC，所以 GF平面 PDC.又 GF平面 EFG，所以平面 EFG平面 PDC.(创新题) 已知四面体 ABCD 的棱长都相等，E，F ，G，H 分别是 AB，AC，AD 以及 BC11.的中点求证：面 EHG面 FHG.证明：法一：如图，取 CD 中点 M，连结 HM，MG，则四边形 MHEG 为一菱形连结 EM 交 HG 于 O，连结 FO.在FHG 中， O 为 HG 中点，且 FHFG ，FOHG.同理可证 FOEM，FO 面 EHMG.又 FO面 FGH，面 EHG面 FHG.法二：取 HG 中点 O，连结 FO，EO，则易证 FOHG，EOHG .EOF 为二面角 EHG F 的平面角设四面体 ABCD 的棱长为 1，则 EF ，EOFO HG ，12 12 24在EFO 中，EO 2FO 2 EF 2，18 18 14EOF90，面 EHG面 FHG.
