1、课题 3.2.1 对数及其运算（一）（一）学习目标知识与技能：理解对数的概念，能根据对数概念进行指数与对数之间的互化；理解对数恒等式及对数性质；熟练运用计算器求一个正实数的常用对数。过程与方法：通过对数概念的学习，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想。情感、态度与价值观：通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想。（二）重点难点重点：对数的定义难点：对数的概念、对数的符号表示（三）教学内容安排1复习引入细胞分裂 次后，细胞个数为 ；给定分裂次数 ，可求出细胞分裂后的个数 ，x2xyxy分裂次数 1 2 3 4 5 6细胞个数 y2 4实际问题中，常需要由细胞分
2、裂后的个数 ，计算分裂的次数 ，y分裂次数 x 细胞个数 8 32 64 128 256 又如指数式 中，已知底数 9 和幂 的值，求指数 ，怎样求呢？9xy x2新授内容在指数函数 中，对实数集 R 内的每一个值 ,在正实数集内都有唯xya0,1x一的值 和它对应；反之，对正实数集内的每一个确定的值 ,在 R 内都有唯一的值 和它yx对应；我们把幂指数 叫做以 为底 的对数。y定义：一般地，对于指数式 ，我们把数 b 叫做以 为底 N 的对Nab0,1aa数，记作 ，读作“数 b 等于以 为底 N 的对数” ，a 叫做对数的底数，N 叫做真logabN数。学生举例例如： ; 1642216l
3、og410220log1; 2l4 .2.l10探究：负数与零没有对数（在指数式中 N 0 ） ，1loga1la对任意 且 , 都有 010a0loga同样易知： loga对数恒等式如果把 中的 b 写成 , 则有 NbNalogNalog底数的取值范围 ；真数的取值范围范围 。),1()0),0(常用对数：我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数。为了简便,N 的常用对数简记作 lgN。10log例如： 简记作 lg5 ; 简记作 lg3.5.55.3log103、讲授范例例 1 将下列指数式写成对数式： （1） =625 （2） = （3） =27 (4) =5.7345641am）（
4、 31例 2 将下列对数式写成指数式：（1） ； （2） 128=-7；6log212log（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303例 3 计算：（1） ； （2） 128=； （3）lg0.01； 12l 2l（4） 100 （） 1 （）g4.0og2log16例 4 利用科学计算器求对数（精确到 0.0001）1112； 0.668； 396； 0.0345lglll4、课堂练习：巩固练习（课本第 95、96 页练习 A）5、小结6、课后作业：课本第 95、96 页练习 B（四）教学资源建议对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的它们是对同一
5、关系从不同角度的刻画，表示为：当 时，1,0a所以指数式 中的底数，指数，幂与对数式 中的底Nabalog Nab bNalog数，对数，真数的关系可以表示如下：本节的教学重点是对数的定义；对数作为一种运算，由 引出，在Nab0,1a这个式子中，已知一个数 和它的指数，求幂的运算就是指数运算；而已知一个数 和它a的幂，求指数的运算就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对 的全面认识ab（五）教学方法与学习指导策略建议对于对数概念的学习，一定要紧紧
6、抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数和真数 的要求；其次对于对数的性质 及零和负数没有对aN )1,0(log,01l aaa数的理解，也可以通过指数式来证明、验证；在理解对数概念后能完成指数式和对数式的互化。对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段课题 3.2.1 对数及其运算（二）（一）学习目标知识与技能：理解推导对数运算法则的依据和过程，掌握对数运算法则；能较熟练地运用对数运算法则解决问题过程与方法：通过对数运算法则的探究及推导过程，培养学生的合情推理能力、演绎归纳的数学思想方法；情感、态度与价值观：通过合情推理和演绎归纳的思想运
7、用，培养学生相互联系相互转化以及从特殊到一般的辩证唯物主义观点，以及大胆探索、实事求是的科学精神。（二）重点难点重点：对数运算法则及推导、应用难点：对数运算法则的探究与证明.（三）教学内容安排1复习引入如果看到 这个式子会有何联想?bNalog由学生回答(1) (2) (3) (4) 01a0Nab从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则由学生回答后教
8、师可用投影仪打出让学生看： ， ， nma nmamna)(2新授内容直接提出课题：若 是否成立?)log(llog,0,10 NMNMaaa由学生讨论并举出实例说明其不成立，教师肯定结论的正确，再提出 ?logaa让学生探究有什么规律? 由学生回答应有 成立all现在它只是一个猜想，要保证其对任意 都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢?你学过哪些与N,之相关的证明依据呢?学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书证明：设 则 ，由指数运算法则qNpMaalog
9、,l NaMqp,得 qp，a)(log即 (板书)NNaalogl法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识：(1)公式成立的条件是什么?(由学生指出注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)(2)能用文字语言叙述这条法则：两个正因数的积的对数等于同一底数的各因数对数的和(3)若真数是三个正数，结果会怎样?很容易可得 (条件同PNMNPaaaa logllog)(log前)(4)利用法则完成下面的运算：(1) (2) (3)6432(log51ll333l2l66由学生总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到左运算是升级运算，要求运算从双向把握提出新问题：)0,1,0(?
10、logNMaNa可由学生说出 得到大家认可后，再让学生完成证明alogll证明：设 则 ，由指数运算法则得qpaal,logqp, NMaqpNMNaaa logll 教师在肯定其证明过程的同时，提出是否还有其它的证明方法?能否用上刚才的结论?有的学生可能会提出把 看成 再用法则，但无法解决 计算问题，再引导学生如何1 a1log回避 的问题经思考可以得到如下证法a1log或证明如下NMNNaaaaa llogllogl ，再移项可得证以上两种证明方法都体现了化归的Ma)(l 思想，而且后面的证法中使用的拆分技巧“化减为加”也是会经常用到的最后板书法则 2，并让学生用文字语言叙述法则 2(两个
11、正因数的 商的对数等于同一底数的各因数对数的差)请学生完成下面的计算： (1) (2) 10lg2lg提出新问题：学生在说出结论的同时就可给出证明如下：),(?logMaMna设 则 ， 如学生思考是否还,ppnna( Mnaaloglog有其它证明方法，可在课下研究将三条法则写在一起，并与指数的法则进行对比然后要求学生从以下几个方面认识法则 积、商、幂的对数运算法则：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有： ()()aaaalog()llog12ll(R3(1)了解法则的由来(怎么证)(2)掌握法则的内容(用符号语言和文字语言叙述)(3)法则使用的条件(使每一个对数都有意义)(4)法则的
12、功能(要求能正反使用)说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”有时逆向运用公式：如 10log2l5log1010真数的取值范围必须是 ：),(是不成立的； 是不成立的(l3l)5(3log222 )10(log2)0(l1对公式容易错误记忆，要特别注意：，NMNaaalogl)(l NMaaallog)(l 3、讲授范例例 1 用 ， ， 表示下列各式：xalogyalzal 235 3()l;(2)log);(log;(4)logaaaaxyxxz yzz解
13、略例 2 计算：（1） （2） （ ） （3） （4） 5lg02log745lg4252(l)解略4、课堂练习：课本第 99、100 页练习 A5、小结6、课后作业课本第 99、100 页练习 B（四）教学资源建议对数作为一种运算，重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注（五）教学方法与学习指导策略建议对于运算法则的探究，可以通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法，显示了对数计算的优越性
