1、04 课后课时精练一、选择题1一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是( )A相等 B互补C相等或互补 D不能确定解析：当一个二面角的棱垂直于另一个二面角的一个半平面时，这两个二面角的大小关系是不能确定的答案：D2已知二面角 l 的大小为 60，m、 n 为异面直线，且m ，n，则直线 m、n 的夹角为( )A30 B60C 90 D120解析：根据二面角的定义及异面直线夹角的定义答案：B32014南宁高二联考 如图，已知平面 内有一个以 AB 为直径的圆，PA ，点 C 在圆周上(异于点 A、B) ，点 D、E 分别是点A 在 PC、PB 上的射影，则 (
2、 )AADE 为二面角 APCB 的平面角B AED 为二面角 APB C 的平面角C DAE 为二面角 BPA C 的平面角DACB 为二面角 APCB 的平面角解析：因为 BC平面 PAC，所以 ADBC，又 ADPC，所以 AD平面 PBC.又 PBAE，所以 PBDE，即AED 为二面角 A PBC 的平面角答案：B4已知ABC 和BCD 均为边长为 a 的等边三角形，且 ADa，则二面角 ABC D 的大小为( )32A30 B45C 60 D90解析：如图取 BC 的中点为 E，连结 AE、DE，由题意得AEBC，DEBC，且 AEDE a，又 AD a，32 32AED 60，即
3、二面角 ABCD 的大小为 60.答案：C52014辽宁高二检测 如图，二面角 l 的平面角为 120，A、Bl，AC ，BD ，ACl，BDl ，若 ABAC BD1，则 CD 等于 ( )A. B.2 3C 2 D. 5解析： ，CD CA AB BD 21112 CD CA BD 23211cos604CD | |2.故选 C.CD 答案：C6等腰直角三角形 ABC 中，ABBC1，M 为 AC 中点，沿BM 把它折成二面角，折后 A 与 C 的距离为 1，则二面角C BMA 的大小为( )A30 B60C 90 D120解析：如图，由 ABBC1，ABC90，得 AC .2因为 M 为
4、 AC 中点，所以 MCAM ，22且 CMBM ，AM BM.CMA 为二面角 CBMA 的平面角AC1，MCMA .22CMA 90，故选 C.答案：C二、填空题7若分别与一个二面角的两个面平行的向量 m(1,2,0)，n(1,0 ， 2)，且 m、n 都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为_解析：设二面角为 ，则 cos |cosm，n| ，|mn|m|n| 15 5 15sin .1 cos2245答案：2458ABC 是正三角形， P 是ABC 所在平面外一点，PAPBPC，若 SPAB S ABC ，则二面角 PABC 的大小为23_解析：PA PBPC.P 在面 ABC 射影 O
5、 为ABC 的中心SOAB S ABC，又 SPAB SABC .13 23cos .60.SOABSPAB 12答案：6092014深圳高二检测 如图，在空间直角坐标系 Dxyz 中，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 为长方体，AA 1AB 2AD，点 E、F 分别为C1D1、 A1B 的中点，则二面角 B1A 1BE 的余弦值为( )A. B. 33 32C. D. 33 32解析：本题考查空间直角坐标系中的线段中点、二面角等基础知识设 AD1，则 A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为 E、F 分别为C1D1、 A1B 的中点，所以 E(0,1,2)，F(1,1,1) ，所以 (
6、1,1,0)，A1E (0,2，2)，设 m(x，y，z)是平面 A1BE 的法向量，则Error!A1B 所以Error!所以Error!取 x1，则 yz 1，所以平面 A1BE 的一个法向量为 m(1,1,1)，又 DA平面 A1B1B，所以 (1,0,0)是DA 平面 A1B1B 的一个法向量，所以 cosm， ，DA mDA |m|DA | 13 33又二面角 B1A 1BE 为锐二面角，所以二面角 B1A 1BE 的余弦值为 ，故选 C.33答案：C三、解答题102014 临汾高二检测 如图，在四面体 PABC 中，PC 平面 ABC，ABBCACPC，求二面角 BAPC 的正切值
7、解：如图，过 B 作 BMAC 于 M，过 M 作 MNAP 于 N，连接 BN，由三垂线定理知：BNPA.MNB 为所求二面角的平面角，设 ABBC AC PC1.BM ， MN .32 24tanMNB .BMMN3224 6即所求二面角 BAP C 的正切值为 .611如图所示的几何体 ABCDE 中，DA平面EAB， CBDA，EA DAAB 2CB，EA AB，M 是 EC 的中点(1)求证： DMEB；(2)求二面角 MBD A 的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系并设 EADAAB 2CB2，则(1)证明： (1,1， )， (2,2,0)，DM 32 EB 所以 0，从而得
8、 DMEB；DM EB (2)设 n1(x，y，z )是平面 BDM 的法向量，则由 n1 ，n 1 及 (1,1， )， (0,2，2) ，得DM DB DM 32 DB Error!可以取 n1(1,2,2)显然，n 2 (1,0,0)为平面 ABD 的法向量设二面角 MBD A 的平面角为 ，则此二面角的余弦值cos|cosn 1，n 2| .|n1n2|n1|n2| 13122014 天津高考如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADAB ，ABDC，ADDCAP 2，AB 1，点 E 为棱PC 的中点(1)证明： BEDC；(2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦
9、值；(3)若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求二面角 FAB P的余弦值解法一：依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图) ，可得 B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2) 由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1,1,1)(1)证明：向量 (0,1,1)， (2,0,0)，故 0.BE DC BE DC 所以 BEDC.(2)向量 (1,2,0)， (1,0，2)设 n( x，y ，z)为平面BD PB PBD 的法向量则Error!即Error! 不妨令 y1，可得 n(2,1,1)为平面 PBD 的一个法向量于是有cos n， .BE nBE
10、 |n|BE | 262 33所以，直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 .33(3)向量 (1,2,0)， (2，2,2)， (2,2,0)，BC CP AC (1,0,0)由点 F 在棱 PC 上，设 ，01.AB CF CP 故 (12 ，22 ，2)由BF BC CF BC CP BFAC，得 0，因此，2(12) 2(22) 0，解得 .BF AC 34即 .设 n1(x，y ，z)为平面 FAB 的法向量，BF ( 12，12，32)则Error!即Error!不妨令 z1，可得 n1(0，3,1)为平面 FAB 的一个法向量取平面 ABP 的法向量 n2(0,1,0)，则cos n1，n 2 .n1n2|n1|n2| 3101 31010易知，二面角 FAB P 是锐角，所以其余弦值为 .31010
