5.1《对称轴现象》 教案（北师大版） (3).doc

1、轴对称现象一、教学内容：轴对称现象、简单的轴对称图形（第七章第一节第二节）1. 轴对称的相关概念2. 角平分线、线段的垂直平分线以及等腰三角形的相关性质二、教学目标：1. 在丰富的现实情境中，经过观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征等活动，进一步发展空间观念。2. 通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴。3. 欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的丰富文化价值。三、知识要点分析：知识点 1：轴对称图形的定义（重点）如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴。知识点 2：

2、轴对称（重点）对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线是对称轴。注意：（1）有两个图形，能够完全重合.（2）重合方式为沿某一条直线对折后能够重合.（3）轴对称的两个图形一定是全等的，但两个全等的图形不一定成轴对称.知识点 3：轴对称和轴对称图形二者之间的区别和联系（难点）区别：轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形.轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的。联系：定义中都有一条直线，都能沿这条直线折叠重合；如果把轴对称沿着对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称：如果把两个成轴对称的图形看成一个整

3、体，则它就是一个轴对称图形。知识点 4：中垂线（重点、难点）线段是轴对称图形，它的一条对称轴垂直于这条线段，并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。知识点 5：角平分线（重点、难点）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。知识点 6：等腰三角形（重点、难点）两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。性质：（1）等腰三角形是轴对称图形。（2）等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直

4、线都是等腰三角形的对称轴。（3）等腰三角形的两个底角相等。三条边都相等的三角形是等边三角形。性质：等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于 60。【典型例题】考点一：轴对称的概念例 1. 请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化. 轴对称现象无处不在，其中可以看作是轴对称图形的有（ ）A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个题意分析：本题要求根据轴对称图形的概念确定哪一个图形是轴对称图形.思路分析：如果仔细观察图案设计不仅可以发现这些图形都很有特色，而且它们富有创意，同时它们体现了对称的美感.图中所给四个图设计思路相同，都是轴对称图形，可以找到一条直线使它们沿

5、着这条直线对折，图形的两边可以完全重合。答案：A例 2. 观察图中（1）（5），回答：它们是不是轴对称图形? 有什么共同特点?题意分析：题目要求判断所提供的 5 个图形是否是轴对称图形，并归纳图形的共同特征。思路分析：本题主要考查对两个图形成轴对称的理解。可以利用轴对称的概念加以判断，但不能把两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形的概念相混淆。解：它们都是轴对称图形，每一组中都有两个图形。可以沿某一条直线对折使两个图形能完全重合在一起，所以每幅图中的两个图形成轴对称。轴对称图形是一个图形，可以有一条或许多条对称轴。（1 ）（5 ）中的两个图形都成轴对称，一般来说只有一条对称轴。小结：以上两例均

6、考查轴对称的概念，在解决此类问题时，要注意对轴对称概念的理解。考点二：角的平分线与线段的中垂线例 3. 如图所示，OP 为AOB 的平分线，PCOA，PDBO，垂足分别为 C、D ，则下列结论中正确的是_ 。PC=PD； 1=2； 3=4；OC=OD； S PCO =SPDO .题意分析：题目中给出角与其角平分线，要求利用角平分线的性质确定结论是否正确。思路分析：本题是角的平分线性质的综合运用.根据角的轴对称性质可知，显然正确.通过探索，也是关于AOB 的平分线的一对对称点 .因此可知均正确。解：根据角的平分线的性质知，正确。由图形的轴对称知PCO 与PDO 关于 OP 成轴对称。所以3=4

7、，OC=OD，且 SPCO =S PDO。答案：例 4. 如图所示，已知AOB 与 M，N 两点，你能否找到一点 P 到AOB 两边的距离相等，且到 MN 两点的距离也相等.画出图并简要地说明画图方法。题意分析：给出一个角以及角内两点，要求确定一点 P，使其到所给角的两边的距离相等，并且到角内两点的距离相等。思路分析：要使点 P 到AOB 两边的距离相等，则 P 在AOB 的平分线上；P 到M、 N 两点的距离相等，则 P 在线段 MN 的垂直平分线上。根据角的平分线性质知 P 点必在AOB 的平分线上。同样由条件可知 P 点也在线段 MN 的垂直平分线上。故 P 点为AOB 的平分线与线段

8、MN 的垂直平分线的交点。答案：P 为AOB 的平分线与线段 MN 的垂直平分线的交点。例 5. 如图所示，在ABC 中，AB=AC，D 是 AB 的中点，且 DEAB。已知BCE 的周长为 8，且 AC BC=2，求 AB、BC 的长。题意分析：题目给出一个等腰三角形，要求利用线段的中垂线的性质确定三角形的边长。思路分析：由于 D 是 AB 的中点，且 DEAB，根据线段的中垂线的性质知 AE=BE。BCE 的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=8，再结合 ACBC=2，即可求出 AB、BC 的长。解：由于 D 是 AB 的中点，且 DEAB，所以 AE=BE.BCE 的周

9、长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=8即 AC+BC=8，又 ACBC=2+得 2AC=10，AC=5，所以 BC=52=3小结：本题主要考查的是线段的中垂线的性质的应用，解决此类问题时，要注意对线段的中垂线的性质的理解。例 6. 如图所示，ABC 中，C=90，AD 平分BAC，DEAB，如果DE=5cm，CAD=32，求 CD 的长度及B 的度数。题意分析：本题给出一个直角三角形与一个内角平分线，要求根据已知角与已知线段确定未知角与未知线段。思路分析：由角平分线的性质可知EAD=CAD=32，由 AD 平分BAC， DEAB ，ACCD 知 CD=DE=5cm.利用三角形的

10、内角和等于 180 可求B 的度数。答案：由角平分线的性质知EAD=CAD=32。所以CAE=64。B=180CAB C=1806490=26。因为 AD 平分BAC ，DE AB，ACCD ，所以 CD=DE=5cm小结：本题主要考查的是角平分线性质的应用，角的平分线除了平分角以外，还有一个最重要的性质，就是角平分线上的点到角的两边的距离相等。反思：以上几例考查的是角平分线的性质以及线段的中垂线的性质，解决此类问题时，要注意分清线段的中垂线以及角平分线的性质的区别，并学会灵活运用。考点三：等腰三角形例 7. 如图所示，房屋顶角为 100，经过屋顶 A 的立柱 ADBC，屋檐 AB=AC，求顶

11、架上B 、 C、BAD、CAD 的度数。题意分析：本题给出一等腰三角形以及顶角和高，要求相应内角的度数。思路分析：已知 AB=AC，故ABC 为等腰三角形.又知此三角形顶角，由三角形内角和定理可求B、C.又知ABD，ACD 为直角三角形，即可求BAD，CAD 。解：在ABC 中，AB=AC （已知） ，B=C（等腰三角形两底角相等） .B=C= 21（180BAC）=40（三角形内角和定理）.又ADBC（已知）BAD= CAD（等腰三角形“三线合一”）BAD= CAD=50.小结：本题主要考查等腰三角形性质的应用.除了等腰三角形两底角相等以外，还有一个最重要的性质，就是“三线合一”。【本讲涉及

12、的数学思想和方法】 本讲主要涉及轴对称图形的概念及线段、角平分线和等腰三角形性质，重点内容是这三个特殊的轴对称图形的性质。在学习过程中主要体会数形结合的数学思想方法，同时在求三角形的内角的度数时，通常利用方程进行求解，所以在此体现了方程的数学思想。预习导学案（第七章第 3 节探索轴对称的性质）一、预习要点1. 轴对称的性质2. 轴对称性质的应用二、预习导学探究与反思探究任务 1：轴对称的性质【反思】轴对称的性质是_.探究任务 2：确定轴对称图形的对称轴【反思】确定轴对称图形的对称轴的方法是_.三、牛刀小试1. 下列说法正确的是（ ）A. 两个全等的三角形合在一起是轴对称图形B. 两个轴对称的三

13、角形一定是全等的C. 线段不是轴对称图形D. 三角形的一条高线就是它的对称轴2. 如果三角形的某一边的中点到其他两边的距离相等，则这个三角形一定是（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形3. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ）A. 互相垂直的两条直线构成的图形B. 一条直线和直线外一点C. 有一个内角是 60 度的三角形 D. 扇形4. 下列说法正确的是（ ）A. 两个全等的三角形一定关于某条直线对称B. 关于某条直线对称的两个三角形一定全等C. 直角三角形是轴对称图形D. 锐角三角形都是轴对称图形5. 下列说法中正确的有（ ）角的两边关于角平分线对称两点

14、关于连结它的线段的中垂线对称成轴对称的两个三角形的对应点，或对应线段，或对应角也分别成轴对称到直线 L 距离相等的点关于 L 对称A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【模拟试题】 （满分 100 分，时间 90 分）一、认认真真选（每题 4 分，共 32 分）*1. 如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是（ ）. A. B. C. D.*2. 下列图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）3. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）A. 过顶点的直线 B. 底边上的高C. 顶角平分线所在的直线 D. 腰上的高所在的直线*4. 如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，

15、BD 平分ABC 交 AC 于 D，则图中的等腰三角形有（ ）个A. 4 B. 3 C. 2 D. 1*5. 如图，ABC 中，BC=10，BD=8，DE BC 于 E，且 E 为 BC 的中点，则BCD 的周长为 （ ）A. 20 B. 18 C. 26 D. 28*6. 已知在 RtABC 中，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD：CD=9 ：7，则 D 到 AB 的距离为（ ）A. 18 B. 16 C. 14 D. 12*7. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. 有一个内角为 45的直角三角形B. 有两个内角相等的三角形C. 等边三角形D. 直角

16、三角形*8. 下列图形不是轴对称图形的是（ ）A. 等边三角形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 正六边形二、仔仔细细填（每小题 4 分，共 20 分）*9. 请写出一个是轴对称图形的图形名称. 答： 。*10. ABC 中，AB=AC，A=80，则B= 。*11. Rt ABC 中，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D。（1 ）若 BC=8，BD=5，则点 D 到 AB 的距离是 。（2 ）若 BD：DC=3：2 ，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长是 。*12. 观察下面的图形，它们的共同特点是_，我认为_比较与众不同，理由：_。*13. 数的运算中会有一些有趣的对称

17、现象，比如“1 的金字塔”，你能发现其中的规律吗？按你发现的规律把下面的式子补充完整。三、解答题（48 分）*14. （本题 6 分）老师正叙述这样一道题：请同学们画出一个ABC，然后画出 AB 同AC 的中垂线，且交于点 P。请同学们想一下点 P 到三角形三个顶点 A，B，C 的距离如何？小明马上就说：“相等” 。他是随便说的吗？你同意他的说法吗？请说明你的理由。*15. （本题 8 分）如图，已知ABC 中，DE 垂直平分 AC，且交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，ABD 的周长是 20 厘米，AC 长为 8 厘米，你能判断出ABC 的周长吗？试试看。*16. （本题 10 分）有一

18、个三角形的支架如图所示，AB=AC，小明过点 A 和 BC 边的中点 D 又架了一个细木条，经测量 B=30 ，你在不用任何测量工具的前提下，能得到BAD 和ADC 的度数吗？*17. （本题 12 分）如图，等腰 ABC 的周长为 21，底边 BC=5，AB 的垂直平分线 DE交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，试求BEC 的周长。*18. （本题 12 分）如图，（1）正三角形，（2 ）正四边形，（3 ）正五边形，（4）正六边形，（5）正八边形，（ 6）正九边形都是轴对称图形，数一数它们的对称轴的条数。观察后分析：正多边形对称轴的条数与边数有什么关系? 根据你的分析结果回答，正十边形，

19、正十六边形，正二十九边形分别有几条对称轴?正五十边形呢? 正一百边形呢?【试题答案】一、1. B【思路分析】根据轴对称图形的概念，沿某条直线折叠，两部分能够完全重合，只有 B 选项中的字满足这一要求。2. D【思路分析】B、C 不是轴对称图形，A 是轴对称图形但只有一条对称轴，所以答案为 D。3. C【思路分析】首先要明确的是对称轴是一条直线，等腰三角形是轴对称图形，根据等腰三角形三线合一的性质可知等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线或者说底边的高线所在的直线或者底边的中线所在的直线.本题答案是 C。4. B【思路分析】根据等腰三角形两底边相等这一性质，可求ABC 与C，由 BD 平分A

20、BC，可以确定DBC 以及ABD 的度数，利用这些角的度数可以确定等腰三角形。三个等腰三角形分别是ABC，ABD，DBC 。5. C【思路分析 】因为 DEBC 于 E，且 E 为 BC 的中点， BD=CD=8，BC=10 ，所以周长是10+8+8=26。6. C【思路分析】因为 BC=32，且 BD：CD=9：7，所以 BD=18，CD=14，根据角平分线的性质可知 D 到 AB 的距离也就是 CD=14。7. D【思路分析】其中 A， B，C 选项中所描述的三角形都是等腰三角形，都是轴对称图形.直角三角形不一定是轴对称图形，只有两条直角边相等时是轴对称图形。8. C【思路分析】等边三角形

21、、矩形、正六边形都是轴对称图形。二、9. 圆、矩形等【思路分析】本题属于开放题，答案不唯一，只写出一个即可。10. 50【 思路分析 】因为ABC 中，AB=AC，所以B=C= 12（18080）=50。11. （1）3 （2）15 【思路分析】 （1）由角平分线上的点到角两边的距离相等可知，点 D 到 AB 的距离等于 CD，所以 CD=3；（2）CD=6，所以 BD=9，即 BC=15。12. 都是轴对称图形；（4）；因为（4）只有 1 条对称轴，而其他的有 2 条对称轴【思路分析】从是否是轴对称图形以及对称轴的条数这两个方面求解。13. 123454321，12345654321 【思路

22、分析】 规律是 2 个 1 的平方是 121，3 个 1 的平方是 12321。三、14. 我同意小明的说法. 如图，点 P 是 AB 的中垂线上一点， PA=PB . 点 P 是 AC 中垂线上一点，PA=PC ，PA=PB=PC。思路分析：利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等来说明 P 到三个顶点的距离相等。15. DE 垂直平分 AC，AD=DCABD 的周长是 20 厘米，AD+BD+AB=20AB+BD+CD=20，即 AB+BC=20. 又AC=8， AB+BC+AC=28 厘米.思路分析：本题主要考查的是线段的中垂线的性质16. AB=AC，D 为 BC 边的中点，AD

23、 又是 BC 边的高线和BAC 的角平分线. ADC=90，ADB=90，BAD=60. 思路分析：本题主要考查的是等腰三角形三线合一的性质。17. 解：DE 垂直平分 AB， AE=BE.ABC 的周长为 21，AB+AC+BC=21，又 AB=AC，BC=5，2AC+5=21，AC=8BEC 的周长：BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AC=5+8=13思路分析：利用线段的垂直平分线的性质进行求解18. 正三角形有 3 条对称轴，正四边形有 4 条对称轴，正五边形有 5 条对称轴，正六边形有 6 条对称轴，正八边形有 8 条对称轴，正九边形有 9 条对称轴。正多边形对称轴的条数与边数 n 之间的关系是：边数是 n，对称轴的条数是 n 条。所以正十边形有 10 条对称轴，正十六边形有 16 条对称轴，正二十九边形就有 29 条对称轴，正五十边形就有 50 条对称轴，正一百边形就有 100 条对称轴。思路分析：正多边形并不都是轴对称图形. 但是，是轴对称图形的正多边形的对称轴的条数与其边数有着密切的联系，请仔细找出它们之间的规律。