1、复习与 巩固【学习目标】1理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法，有效数字及近似数的相关概念并能灵活应用；5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念 1.有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用 举例表示数的性质 0 是自然数、是有理数表示没有 3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表示表示某种状态 0C表示冰点
2、表示正数与负数的界点 0 非正非负，是一个中性数2数轴：规定了原点、正方向和单位 长度的直线.要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 .（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0. 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的 （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（3）多重符号的化简：数字前面“ ”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负.4绝对值：（1)代数意义：一
3、个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 数 a 的绝对值记作 a. （2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.要点二、有理数的运算 1 法则：（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同 0 相加，仍得这个数.（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即 a-b=a+(-b) .（3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同 0 相乘，都得 0.（4）除法法则：除以一个不等于 0 的
4、数，等于乘这个数的倒数.即 ab=a1b(b0) .（5）乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0.(6)有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：（3）=3，+（3）=3.（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（3）（2）（6）=36，而（3）（2）6=36.（3）有理数乘方，这里奇偶指
5、的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9， 3()27.2运算律： （1）交换律: 加法交换律:a+b=b+a; 乘法交换律:ab=ba;（2）结合律: 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c); 乘法结合律：（ab）c=a(bc) (3)分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于 0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法 （4）作商比较法；（5)倒数比较法要点四、科学记数法 1. 科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 10
6、na的形式（其中 10a， n是正整数） ，此种记法叫做科学记数法.例如：200 000= 52.2.有效数字：从一个数的左边第一 个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字.如：0.000 27 有两个有效数字：2，7.注意：万= 410，亿=10 8【典型例题】类型一、有理数相关概念1若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值 ；(4)平方；(5)立方，等于它本身则这个数分别为(1)_；(2)_；(3)_；(4)_；（5）_【答案】 （1）0； (2)1 和-1；(3)正数和 0；(4)1 和 0；(5)-1、0 和 1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全
7、.【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：【高清课堂：有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】【变式】(1) 321的倒数是 ； 321的相反数是 ； 321的绝对值是 .-（-8）的相反数是 ； 的相反数的倒数是_(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8 元的意义是 _ ；如果这种油的原价是 76 元，那么现在的 卖价是 . (3) 上海浦东磁悬浮铁路全长 30km， 单程运行时间约为 8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 mmin.(4) 若 a、 b 互为相反数， c、 d 互为倒数，则 )(32bacd
8、_ .(5) 近似数 0.4062 精确到 位，有 个有效数字;近似数 5.4710 5精确到 位，有 个有效数字;近似数 3.5 万精确到 位，有 个有效数字.(6) 3.4030105保留两个有效数字是 ，精确到千位是 .【答案】 （1）3； 2； 13；-8；2 （2）降价 5.8 元，70.2 元；（3） 3.7510；（4）3；（5）万分，4；千，3；千，2 （6）3.410 5，3.4010 52 如果(x-2) 2+|y-3|0，那么(2x-y) 2005的值为( )A1 B-1 C2 2006 D3 2005【思路点拨】利用非负数的性质，求出 y,x的值再代入计算【答案】A【解
9、析】 因为(x-2) 2，|y-3|都是非负数，且(x-2) 2+|y-3|0， 所以由非负数的性质先求出 x=2，y =3 的值，代入得： (2x-y) 2005=12005=1【总结升华】偶次方与绝对值都 具有非负性.3.在下列两数之间填上适当的不等号：2056_ 2067【思路点拨】根据“a-b0，a-b0，a-b0 分别得到 ab，ab，ab”来比较两数的大小【答案】 【解析】法一：作差法由于 205620572061072067，所以6法二：倒数比较法：因为20615206所以 20567【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选 择使用.举一反三：【变式】比较大小：(1
10、) 19_0.001； (2) 23_-0.68【答案】 （1） （2）类型二、有理数的运算【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】4(1) 113624 (2)()(.)5135244 ()235325(4).1714816(5)03225【答案与解析】 （1）原式1143624（2）原式529（3）原式313(4)2(516)0（4）原式()()23（5）1125()49原 3.9【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)ab+ac；逆向应用分配律：ab+a
11、ca(b+c)等.举一反三：【变式】计算：（1） 1(2)(2)；（2）2 331444(0.)【答案】 （1） 1()(2)2(2)4（2）原式 357146435 12214075630139044类型三、数学思想在本章中的应用5.（1）数形结合思想：有理数 a 在数轴上对应的点如图所示，则 a，-a，1 的大小关系.A-aa1 B1-aa C1-aa Da1-a（2）分类讨论思想：已知|x|5，|y|3 求 x-y 的值（3）转化思想：计算： 35()47【答案与解析】 （1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到 a1-a，所以大小关系为：a1-a.所以正确选项为：D（2）因为| x|5
12、，所以 x 为-5 或 5因为|y|3，所以 y 为 3 或-3当 x5，y3 时，x-y5-32当 x5，y-3 时，x-y5-(-3)8当 x-5，y3 时，x-y-5-3-8当 x-5，y-3 时，x-y-5-(-3)-2故（x-y）的值为2 或8（3）原式= 3315(7)5724614【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段.数形结合“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识” ，将“未知”转化为“已知”. 举一反三：【变式】若 a 是有理数，|a|-a
13、 能不能是负数?为什么?【答案】 当 a0 时，|a|-aa-a0；当 a0 时，|a|-a0-00；当 a0 时，|a|-a-a-a-2a0所以，对于任何有理数 a，|a|-a 都不会是负数类型四、规律探索6. (2009山东聊城)将 1， 2， 3， 14， 5， 6，按一定规律排列如下：请你写出第 20 行从左至右第 10 个数是_【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律【答案】 120【解析】 认真观察可知，第 1 行有 1 个数，第 2 行有 2 个数，第 3 行有 3 个数，所以第 20 行有 20 个数，从第 1 行到第 20 行共有 1+2+3+20210 个数，所以第 20 行最后一个数 的绝对值应是 ；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第 20 行最后一个数是 20，以此类推向前 10 个，则得到第 20 行第 10 个数是 120【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来
