1、12 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1理解集合之间的包含与相等的含义(重点)2能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系(难点、易混点)3在具体情境中，了解空集的含义并会应用(难点)基础初探教材整理 1 子集与真子集阅读教材 P10P 11“例 1”以上部分内容，完成下列问题1子集与真子集定义 符号语言图形语言(Venn 图)子集如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集A B(或BA)真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集A B(或B A)2.子集的性质
2、(1)规定：空集是任意一个集合的子集也就是说，对任意集合A，都有 A.(2)任何一个集合 A 都是它本身的子集，即 AA.(3)如果 AB，BC， ，则 AC.(4)如果 A B，B C，则 A C.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)0是.( )(2)正整数集是自然数集的子集( )(3)空集是任何集合的子集( )【解析】 (1)集合0是以 0 为元素的集合，是非空集合，故(1)错；(2)对任意 xN ，都有 xN，N N，故(2)正确；(3)空集不是空集的真子集，但是空集的子集，(3)对【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 集合的相等阅读教材 P11“集合的相等 ”P 13“思
3、考与讨论 ”以上的内容，完成下列问题1集合相等定义符号语言图形语言(Venn 图)集合相等如果集合 A 的每一个元素都是集合B 的元素，反过来，集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元素，那么就说集合 A 等于集合 BAB2.集合相等的性质如果 AB ， BA，则 AB；反之，如果 AB ，则 AB，且BA.设集合 Ax，y，B0，x 2，若 AB，则 2xy 等于( )A0 B1 C 2 D1【解析】 由元素的互异性知 x0，Error!Error!2xy2.【答案】 C教材整理 3 集合关系与其特征性质之间的关系阅读教材 P12“思考与讨论 ”以下P 13“第一行 ”内容，完成下列问题1
4、一般地，设 Ax |p(x)，Bx|q(x) ，如果 AB，则xA xB.于是 x 具有性质 p(x)x 具有性质 q(x)，即 p(x)q(x )反之，如果 p(x)q( x)，则 A 一定是 B 的子集，其中符号“”是“推出”的意思2如果命题“p(x)q(x)”和命题“q(x )p(x) ”都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“”表示于是，上述两个正确的互逆命题可表示为 p(x)q(x )显然，如果 p(x)q(x )，则 AB；反之，如果 AB，则 p(x)q(x )已知集合 M1,2,3,4,5，N1,5 ，则有( )ANM BN MC NM
5、 DNM【解析】 由题意知 N 中任意元素都是 M 中的元素，且 M 中存在不属于 N 的元素，所以 N M.【答案】 B小组合作型子集、真子集问题(1) 下列命题中正确的有_( 写出全部正确的序号). 【导学号：60210008】2,4,6 2,3,4,5,6；菱形 矩形；x|x 20 0 ；(0,1)0,1；10,1,2；x|x1 x|x2(2)已知集合 Ax|x 3k，kZ，Bx |x6k，kZ，则 A 与B 之间最适合的关系是( )AA B BAB C A B DA B【精彩点拨】 利用子集、真子集的定义进行判断【自主解答】 (1)根据子集的定义，显然正确；中只有正方形才既是菱形，也是
6、矩形，其他的菱形不是矩形；中集合x|x 20中的元素只有一个“0” ，因此是集合0 的子集；中(0,1)的元素是有序实数对，而0,1 是数集，元素不同；中两个集合之间使用了“”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，不能用在集合与集合之间；中两集合的关系应该是x|x1 x|x2因此正确的是、，错误的是、.(2)因为 A 中元素是 3 的整数倍，而 B 的元素是 3 的偶数倍，所以集合 B 是集合 A 的真子集，故选 D.【答案】 (1) (2)D1判断集合间关系的方法(1)用定义判断判断一个集合 A 中的元素是否全部属于另一个集合 B，若是，则 AB ，否则 A 不是 B 的子集(2)
7、数形结合判断利用数轴或 Venn 图判断2写有限集合的子集时，要注意两个特殊的子集和自身，按照元素个数分类写出，避免重复或遗漏再练一题1写出满足条件 M 0,1,2的所有集合 M.【解】 M 0,1,2，M 中元素个数为 1 或 2.当 M 中只有 1 个元素时，可以是0，1， 2；当 M 中只有 2 个元素时，可以是0,1，0,2，1,2所求集合 M 可以是0，1，2 ，0,1，0,2，1,2，共有6 个.集合的相等及应用集合 0，a 2，ab，则 a2 016b 2 015 的值为( )1，a，baA0 B1 C1 D1【精彩点拨】 根据集合相等的定义求出字母 a 与 b 的值，注意集合中
8、元素互异性的应用【自主解答】 0，a 2，ab，又 a0，1，a，ba 0，b0.a 21，a1.ba又 a1，a1，a 2 016b 2 015(1) 2 0160 2 0151.【答案】 B1若两集合相等，则集合中的元素完全相同2本题以“0”为着眼点， 中 a 不为 0 为突破口进行解题ba3解含字母的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性(如本例中 a1 舍去)再练一题2设 A4 ，a ，B2，ab ，若 AB，则 ab_.【解析】 因为 A4，a，B2，ab ，AB，所以Error!解得 a2，b2，所以 ab4.【答案】 4探究共研型由集合间的关系求参数探究 1 设集合 A1,2，
9、若 BA，则集合 B 可能是什么？设集合 A 1,2,3，若 BA，则集合 B 共有几个？设集合A1,2,3 ， ，n ，若 BA ，则集合 B 共有几个？【提示】 ，1 ，2，1,2；8 个；2 n个探究 2 “空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集” ，正确吗？【提示】 正确探究 3 设集合 Ax |ax10，B x|ax 2x10，C x|a1 时，集合 B 是空集，当 a1 时，集合 C 是空集14已知集合 Ax |3x4，B x |2m1xm 1，且BA.求实数 m 的取值范围【精彩点拨】 讨 论 集 合 B 列 不 等 式 组 求 m的 取 值 范 围【自主解答】 BA，(1
10、)当 B时，m12m1，解得 m2.(2)当 B时，有Error!解得1m 2，综上得 m1.1解决此类问题通常先化简所给集合，再用数轴表示所给集合，然后列出不等式( 组)，解端点之间的大小关系，求出参数的取值范围2列不等式(组) 时要根据具体的题目条件确定不等号中是否含有“等号” 3对集合 B 分类讨论是解决此类题目的关键，注意不要忽视对B的讨论再练一题3已知集合 Px|x 21，集合 Qx| ax1，若 QP ，那么a 的取值集合是_. 【导学号：60210009】【解析】 由题意得 P1,1，又因为 QP，若 Q，则 a0，此时满足 QP，若 Q，则 QError!，由题意知， 1 或
11、1，解得 a1.1a 1a综上可知，a 的取值是 0，1.【答案】 1,0,11集合 A1,0,1，A 的子集中含有元素 0 的子集共有( )A2 个 B4 个 C 6 个 D8 个【解析】 根据题意，在集合 A 的子集中，含有元素 0 的子集有0、0,1、0，1 、1,0,1四个，故选 B.【答案】 B2已知集合 Mx| x ，xZ，则下列集合是集合 M 的5 3子集的为( )AP 3,0,1B Q 1,0,1,2C Ry| y1， yZ DSx |x| ，x N3【解析】 集合 M2，1,0,1，集合 R3，2，集合S0,1，不难发现集合 P 中的元素3M ，集合 Q 中的元素 2M，集合
12、 R 中的元素3M，而集合 S0,1中的任意一个元素都在集合M 中，所以 SM .故选 D.【答案】 D300 ， 0，0,1(0,1)，( a，b)(b，a)上面关系中正确的个数为( )A1 B2 C 3 D4【解析】 正确，0 是集合0的元素；正确，是任何非空集合的真子集；错误，集合0,1含两个元素 0,1，而(0,1)含一个元素点(0,1) ，所以这两个集合没关系；错误，集合(a，b) 含一个元素点(a， b)，集合 (b，a)含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等故选 B.【答案】 B4设集合 Ax|1x 2，Bx |xa，若 AB，则 a 的取值范围是( )Aa| a2 Ba|a1C a|a1 Da|a2【解析】 由 Ax|1x 2，Bx |xa， AB，则a|a2【答案】 D5已知集合 A( x， y)|xy2，x ，yN，试写出 A 的所有子集. 【导学号：60210010】【解】 因为 A( x， y)|xy2，x ，y N，所以 A(0,2) ，(1,1)，(2,0) 所以 A 的子集有：，(0,2) ，(1,1) ，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，(1,1) ，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0)
