1、角（提高） 【学习目标】1掌握角的概念及角的几种表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；4. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；5了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题【要点梳理】【要点梳理】【高清课堂：角 397364 角的概念：】知识点一、角的概念1 角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边如图 1 所示，角的顶点是点 O，边是射线 OA、OB （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而
2、形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部如图 2所示，射线 OA 绕它的端点 O 旋转到 OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置 OA 是角的始边，终止位置 OB 是角的终边要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关（2）平角与周角：如图 1 所示射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图 2 所示继续旋转，OB 和 OA 重合时，所形成的角叫做周角2. 角的表示法：角的几何符号用“”表示，角的表示法通常有以下四种：图 1 图 2要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近
3、角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母3. 角的画法（1）用三角板可以画出 30、45、60、90等特殊角；（2）用量角器可以画出任意给定度数的角；（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角知识点二、角的比较与运算1. 角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成 360 等份，每一份就是 1的角，1的 60为 1 分，记作“1” ，1的 60为 1 秒，记作“1” 这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制1 周角360，1 平角180，160，160要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要
4、化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于 60 时要向高一位进位2. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种方法 1：度量比较法先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小方法 2：叠合比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较如比较AOB 和AOB的大小： 如下图，由图（1）可得AOBAO B ；由图(2)可得AOB AOB；由图(3)可得AOBAOB3. 角的和、差关系如图所示，AOB 是1 与2 的和，记作：AOB 1+2；1 是AOB 与2 的差，记作：1AOB-2要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；重合(一
5、边与刻度尺上的零度线重合)；读数(读出另一边所在线的度数)(2) 利用三角板除了可以做出 30、45、60、90外，根据角的和、差关系，还可以画出 15，75，105，120，135，150，165的角4. 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线如图所示，OC 是AOB 的角平分线，AOB2AOC2BOC，AOCBOC = 1AOB要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样知识点三、余角和补角1. 定义：一般地，如果两个角的和等于 90(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角类似地，如果两个角的和等于
6、180(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角2性质：（1）等角的余角相等 （2）等角的补角相等要点诠释： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关(2)一般地，锐角 的余角可以表示为(90-)，一个角 的补角可以表示为(180-) 显然一个锐角的补角比它的余角大 90知识点四、方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线 OA 的方向是北偏东 60；射线OB 的方向是南偏西 30这里的“北偏东 60”和“南偏西 30”表示方向的角，就叫做方位角要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北 4 个方向不需要
7、用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准” ， “北偏东 60”一般不说成“东偏北 30”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线” ，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； （4）图中的点 O 是观测点，所有方向线 (射线)都必须以 O 为端点知识点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有 12 个大格，把周角 12 等分、每个大格对应 30的角，分针 1 分钟转 6，时针每小时转30，时针 1 分钟转 0.5，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题【典型例题】类型一、角的比较与运算1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于
8、180的角，试一一画出来【思路点拨】首先发现一副三角板上有 30，45，60，90这样 4 个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于 180的所有角【答案与解析】 解：除了可以画 30，45，60，90外，还可画 15，75，105，120，135，150，165的七个度数的角，画法如图所示【点评】利用一副三角板共可以画出 11 个度数的角，分别是：30，45，60，90，15，75，105，120，135，150，1652. 计算下列各题：(1)1524912+20.18； (2)82-364215；(3)3536479； (4)41373【答案与解析】解：(1)解法一： 20.182
9、01048即：1524912+20.18173解法二： 1524912152.82， 152.82+20.18173即：1524912+20.18173(2)将 82化为 815960，则 82-36421545174542373， 324+7531， 3536479320313 41373=135220【点评】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满 60进 1，满 60进 1；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入举一反三：
10、【变式】计算：(1)234536+661424；(2)180-982430；(3)1550423； (4)8814484【答案】(1)234536+66142490；(2)180-982430813530；(3)155042347326；(4)8814484223423. 如图所示表示两块三角板(1)用叠合法比较1，2 的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的 6 个角从小到大排列，然后用“”或“”连接【答案与解析】 解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得1，用同样的方法，可得2所以21(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是1245，390，30，60，90，把它们从小到大排列
11、，有123【点评】比较角的大小有叠合法和度量法两种：先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较举一反三：【变式】如图，AOB 的平分线 OM,ON 为MOA 内的一条射线， OG 为AOB 外的一条射线。某同学经过认真分析，得到一个关系式是MON= 12（BON AON） ，你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来。【答案】解：正确，理由如下：AOB 的平分线 OM， AOM=MOB又MON= AOMAON=MOBAON=( BONMON) AON即有MON= BONMON AON 2MON= BONAONMON
12、= 12（ BON AON）类型二、余角与补角4. (武汉武昌区期末调研考试)已知点 O 是直线 AB 上的一点，COE90，OF 是AOE 的平分线(1)当点 C、E、F 在直线 AB 的同侧(如图所示)时试说明 BOE2COF ；(2)当点 C 与点 E、F 在直线 AB 的两旁(如图所示 )时(1)中的结论是否仍然成立?请给出你的结论并说明理由；(3)将如图中的射线 OF 绕点 O 顺时针旋转 m(0m180)，得到射线 OD，设AOCn，若BOD 60)n，则DOE 的度数是多少?(用含 n 的式子表示 )【思路点拨】由于本题中涉及角的数量关系，故可以选择代数的方法来说明理由【答案与解
13、析】 解：(1)如图，设COF， 则EOF90-因为 OF 是AOE 的平分线所以AOF90-所以AOC(90-)-90-2BOE180-COE-AOC180-90 -(90-2)2即BOE2COF(2)成立如图 2设AOC，则 902AOF所以 145(90)CBOE180-AOE 180-(90-)90+ 所以BOE2COF(3)因为DOE180- AOE-BOD2180(9)(60)3n53故 DOE的度数是 ()【点评】根据角平分线，互余及互补的定义，进行有关角的计算有一定的综合性和代表性，主要培养分析问题和解决问题的能力【高清课堂：角 397364 角的有关计算例 4】举一反三：【变
14、式】如图，已知 O 是直线 AC 上一点，OD 平分 AOB，OE 在 BOC 内，且BOE 12EOC，DOE70，求 EOC 的度数.【答案】解：设EOC= x，则 BOE 12EOC ()x，根据题意可得：180270解得： xEOC 2BOE805. 轮船在海面上以每小时 15 海里的速度向正北方向航行，上午 8 时到达 A 处，测得灯塔 C 在北偏西 45方向，上午 10 时到达 B 处，又测得灯塔 C 在北偏西 60方向(1)根据题设条件，选用适当的比例尺画出图形；(2)量出 BC 的图上距离，并推算出 BC 的实际距离；轮船继续向北航行到达 D 处，这时灯塔 C 在轮船的正西方向
15、，这时 CD 的实际距离是多少?(3)你能确定轮船到达 D 处时的时间吗?【答案与解析】解：(1)如图所示作图步骤如下：从点 A 引南北、东西方向的两条直线，并画出 DAC45；轮船从 8 时到 10 时共航行了 30 海里，在南北方向上截取 AB7 mm (这时图距 7 mm 表示 30 海里)；画DBC60，射线 AC、BC 的交点 C 就是灯塔 C 的实际位置；在图上作CDA90，CD与 AD 交于点 D(2)从图中依次量出 BC22 mm，BD11 mm，CD19 mm ，那么 BC 的实际距离为 302794(海里)，CD 的实际距离为 19 30781(海里)(3)BD 的实际距离
16、为 147(海里)，轮船船速为 15 海里时，所以，轮船到达 D 处所需时间为01573.14(小时)，即 3 小时 8 分 24 秒3 小时 8 分 24 秒+10 小时13 小时 8 分 24 秒答：轮船到达 D 处时的时间是 13 时 8 分 24 秒【点评】以 A 点作为南北方向所构成的平角的顶点，由观察点 A、B 的位置以及它们与灯塔 C 的夹角，由此可确定灯塔 C 的位置，然后根据比例尺和草图准确地画图，并计算即可类型三、钟表上有关夹角问题 6. 在 7 时到 7 时 10 分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线?【答案与解析】 解：设 7 时 x 分钟，时针与分针成一条直线，由题
17、意得：1302， 51答：7 时 5分钟时针与分针成一条直线【点评】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： 分针的速度为 3606/分；时针的速度为 306分 0.5/ 分故分针速度是时针速度的 12 倍 举一反三：【变式】某人下午 6 点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为 110，下午 7 点多回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是 110，试算出此人外出用了多长时间?【答案】解：设此人外出用了 x 分钟，则分针转了 6x 度，时针转了 0.5x 度根据题意得：6x-0.5x1102，解之得 x40答：此人外出购物用了 40 分钟的时间
