1、单元测评( 六) 数系的扩充与复数的引入( B 卷)(时间：90 分钟 满分：120 分)第卷(选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分1已知下列命题：复数 abi 不是实数；若(x 24) (x 2 3x2)i 是纯虚数，则实数 x2；若复数 zabi，则当且仅当 b0 时，z 为虚数其中正确的命题有( )A0 个 B1 个C 2 个 D3 个答案：A2复数 z 的共轭复数是( ) 3 i2 iA2i B2iC1i D1i答案：D3复数 z 满足方程 z(z2)i，则 z 所对应的点在 ( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因为 z(z2)i，所
2、以 z(1i)2i，所以 z i(1i)2i1 i1i，所以 z 所对应的点在第二象限答案：B4若复数(ai) 2 的对应点在 y 轴负半轴上，则实数 a 的值是( )A1 B1C D.2 2解析：因为(ai) 2a 212ai，又复数(ai) 2 的对应点在 y 轴负半轴上，所以Error!即 a1.答案：A5设 z 的共轭复数是 ，若 z 4，z 8，则 等于( )z z zzzAi BiC 1 Di解析：设 zx yi(x，yR)，则 xyi，由 z 4，z 8 得，z z zError!Error!Error! i.zz x yix yi x2 y2 2xyix2 y2答案：D6设复数
3、 z 满足关系式 z| z|2i，那么 z 等于( )A i B. i34 34C i D. i34 34解析：设 zx yi(x，yR)，则 xyi 2i，x2 y2所以Error!解得Error!所以 z i.34答案：D7若复数 (bR)的实部与虚部互为相反数，则 b( )2 bi1 2iA. B.223C D223解析：因为 i，又复数2 bi1 2i 2 bi1 2i5 2 2b5 4 b5(bR )的实部与虚部互为相反数，所以 ，即 b .2 bi1 2i 2 2b5 4 b5 23答案：C8已知复数 z1m2i，z 234i，若 为实数，则实数 m 的值z1z2为( )A. B.
4、83 32C D83 32解析：因为 i，又 为z1z2 m 2i3 4i m 2i3 4i25 3m 825 4m 625 z1z2实数，所以 0，即 m .4m 625 32答案：D9设 a，bR，i 是虚数单位，则“ab0”是“复数 a 为纯虚bi数” 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：当 a0，b0 时，ab0，则 a 是实数，故不是充分条bi件；若复数 a 为纯虚数，且 a abi ，则 a0 且 b0，所以bi biab0，故是必要条件答案：B10若 zcosisin(i 为虚数单位)，则使 z21 的一个 值是( )A0 B.2C
5、D2解析：因为 z2(cos isin) 2cos2isin2 ，又 z21，所以Error!再由选择项验证得 .2答案：B第卷(非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分11若复数 z12i(i 为虚数单位) ，则 z z_.z解析：因为 z12i，所以 z | z|25，所以 z z62i.z z答案：62i12i 是虚数单位，能使得(1i) 2n2 ni 成立的最小正整数是_解析：由(1i) 2n2 ni，得(2i) n2 nin 2ni，所以 ini，即 n4k 3，k N，所以最小的正整数为 3.答案：313若复数 z(a2)3i(aR) 是
6、纯虚数，则 _.a i1 ai解析：因为复数 z(a2)3i(aR) 是纯虚数，所以 a2，所以 i.a i1 ai 2 i1 2i 2 i1 2i5 45 35答案： i45 3514已知复数 z1i，则 z_.2z解析： z 1i 1i2i.2z 21 i 21 i 1 i1 i答案：2i三、解答题：本大题共 4 小题，满分 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(12 分) 若 f(z)1 (zC) ，已知 z123i ，z 25i，求 fz.(z1z2)解：因为 z123i，z 25i，所以 23i， 5i ，所以z1 z2 i.6 分z1z2 2 3i5 i 726 17
7、26又因为 f(z)1 ，z所以 f 1 i.12 分(z1z2) (726 1726i) 1926 172616(12 分) 已知复数 z 满足|z| ，z 2 的虚部是 2.2(1)求复数 z；(2)设 z，z 2，zz 2 在复平面上的对应点分别为 A，B，C，求ABC 的面积解：(1) 设 zabi( a，bR) ，则 z2a 2b 22abi ，由题意得a2b 22 且 2ab2，解得 ab1 或 ab1，所以 z1i 或z 1i.6 分(2)当 z1i 时，z 22i，zz 21i，所以 A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，所以 SABC 1.当 z 1i 时，z 2 2i，
8、zz 213i，所以 A(1 ，1)，B(0,2)，C(1，3)，所以 SABC 1.12 分17(12 分) 设复数 z1i，且 1i ，求实数 a，b 的z2 az bz2 z 1值解：因为 z1i，所以 z2azb(a2)iab，z 2z 1i ，所以 (a2)z2 az bz2 z 1 a b a 2ii(a b)i.6 分又 1i，z2 az bz2 z 1所以 a1，b2.12 分18(14 分) 设 z1 是虚数，z 2z 1 是实数，且1z 21.1z1(1)求|z 1|的值以及 z1 的实部的取值范围；(2)若 ，求证： 为纯虚数1 z11 z1解：(1) 设 z1abi( a，bR 且 b0) ，则z2z 1 abi i.1z1 1a bi (a aa2 b2) (b ba2 b2)因为 z2 是实数，b0，于是有 a2b 21，即|z 1|1，还可得 z22a.由1z 21，得12a1，解得 a ，即 z1 的实部的取12 12值范围是 .7 分 12，12(2) i.1 z11 z1 1 a bi1 a bi 1 a2 b2 2bi1 a2 b2 ba 1因为 a ，b0，所以 为纯虚数 12，1214 分
