1、34 函数的应用()1理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义(重点)2区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异(易混点)3会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题(难点)基础初探教材整理 几类不同增长的函数模型阅读教材 P112P 113，完成下列问题1三种函数模型的性质函数性质 ya x(a1)y logax(a1)yx n(n0)在(0，)上的增减性增函数 增函数 增函数图象的变化随 x 的增大逐渐与 y 轴平行随 x 的增大逐渐与 x 轴平行随 n 值的不同而不同2.三种函数增长速度的比较(1)在区间 (0，)上，函数 ya x(a1)，ylog ax(a1)和yx n(n0)都
2、是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上(2)随着 x 的增大， ya x(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 yx n(n0)的增长速度，而 ylog ax(a1)的增长速度越来越慢(3)存在一个 x0，当 xx0 时，有 axxnlogax.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)当 x 增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值，则 y 是 x 的一次函数( )(3)不存在一个实数 m，使得当 xm 时，1.1 xx100.( )【解析】 (1).因为一次函数的图象是直线，所以当 x 增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值(3).根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存
3、在一个实数m，使得当 xm 时，1.1 xx100.【答案】 (1) (2) (3)小组合作型函数模型的增长差异(1) 下列函数中，增长速度最快的是( ) Ay 2 016x Byx 2 016C y log2 016x Dy2 016x(2)四个自变量 y1、y 2、y 3、y 4 随变量 x 变化的数据如下表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05106 3.36107 1.07109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322
4、6.644 6.907则关于 x 呈指数型函数变化的变量是_【精彩点拨】 (1)由题意，指数函数增长速度最快(2) 观 察 变 量 y1，y2，y3，y4的 变 化 情 况 找 出 增 长 速 度 最 快的 变 量 该 变 量 关 于 x呈 指数 型 函 数 变 化【自主解答】 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选 A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量 y1， y2，y 3，y 4 均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画出它们的图象( 图略)，可知变量 y2 关于 x 呈指数型函
5、数变化故填 y2.【答案】 (1)A (2) y21指数函数模型 ya x(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸” 2对数函数模型 y logax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢3幂函数模型 yx n(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间再练一题1下列函数中随 x 的增大而增长速度最快的是( )Ay ex By100ln x1100C y x100 Dy1002 x【解析】 指数函数 ya x，在 a1 时呈爆炸式增长，并且随 a 值的增大，增长速度越快，应选 A.【答案】 A根据函数图象确定函数模型函数 f(x
6、)2 x和 g(x)x 3 的图象如图 341所示，设两函数的图象交于点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，且 x1 x2.图 341(1)请指出图中曲线 C1，C 2 分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断 f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小【精彩点拨】 根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断【自主解答】 (1)C 1 对应的函数为 g(x)x 3，C 2 对应的函数为 f(x)2 x.(2)f(1) g(1)，f(2) g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，1x 12,9 x 210 ，x 16x 2,2 016x 2.从图象上可以看出，当
7、x1x x 2 时，f(x)g(x )，f(6) g(6)；当 xx 2 时，f(x)g( x)，f(2 016) g(2 016)又 g(2 016)g(6) ，f(2 016) g(2 016)g(6)f(6)根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.再练一题图 3422函数 f(x)lg x，g(x)0.3x 1 的图象如图 342所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1，C 2 分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异( 以两图象交点为分界点，对 f(x)，g
8、(x )的大小进行比较). 【导学号：60210096】【解】 (1)C 1 对应的函数为 g(x)0.3x1，C 2 对应的函数为 f(x)lg x.(2)当 xf(x)；当 x1g(x )；当 xx2 时，g(x )f(x)；当 xx 1 或 xx 2 时，f(x)g( x)探究共研型函数模型的选择探究 1 在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？【提示】 一次函数、指数函数、对数函数探究 2 在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？【提示】 前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型某跨国
9、饮料公司在对全世界所有人均 GDP(即人均纯收入)在 0.58 千美元的地区销售该公司 A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均 GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减(1)下列几个模拟函数中：y ax 2bx ；y kx b；ylog axb ；y a xb(x 表示人均GDP，单位：千美元，y 表示年人均 A 饮料的销售量，单位：L)用哪个模拟函数来描述人均 A 饮料销售量与地区的人均 GDP 关系更合适？说明理由；(2)若人均 GDP 为 1 千美元时，年人均 A 饮料的销售量为 2 L，人均 GDP 为 4 千美元时，年人均 A 饮料的销售量为 5 L，把(1)中你所选的模拟函
10、数求出来，并求出各个地区中，年人均 A 饮料的销售量最多是多少？【精彩点拨】 (1)理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择；(2)根据 (1)中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值【自主解答】 (1)用来模拟比较合适因为该饮料在人均 GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减而，表示的函数在区间上是单调函数，所以，都不合适，故用来模拟比较合适(2)因为人均 GDP 为 1 千美元时，年人均 A 饮料的销量为 2 升；人均 GDP 为 4 千美元时，年人均 A 饮料的销量为 5 升，把x1，y2；x 4，y 5 代入到 yax 2bx ，得Error!解得 a ，b ，所以函数解析式
11、为14 94y x2 x.(x0.5,8)14 94y x2 x ，当 x 时，年人均 A 饮料的14 94 14(x 92)2 8116 92销售量最多是 L.8116不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律1线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律2指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律3对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律4幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题再练一题3某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为 100t,120t,130t.为了预
12、测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量 y(t)与月序数 x 之间的关系对此模拟函数可选用二次函数 yf(x )ax 2 bxc( a，b，c 均为待定系数，xN *)或函数 yg(x) pqxr(p，q，r 均为待定系数， xN *)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为 137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？【解】 根据题意可列方程组：Error!解得Error!所以 yf(x )5x 235x70.同理 yg(x)800.5 x140.再将 x4 分别代入 与式得：f(4)5 42354 70130(t) ，g(4)800.5 4
13、140135(t)与 f(4)相比，g (4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以式作为模拟函数比式更好，故选用函数yg( x)pq xr 作为模拟函数较好1.如图 343给出了红豆生长时间 t(月) 与枝数 y(枝)的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好( )图 343A指数函数：y2 tB对数函数：y log 2tC幂函数：y t 3D二次函数：y2t 2【解析】 根据图象中的点，经验证用指数函数模型拟合效果最好【答案】 A2某人 2013 年 1 月 1 日到银行存入一年期存款 a 元，若年利率为 x，并按复利计算，到 2018 年 1 月 1 日可取款( 不
14、计利息税)( )Aa(1x) 5 元 Ba(1x) 6 元C a(1x 5)元 Da(1x 6)元【解析】 2014 年 1 月 1 日可取款 a(1x)元，2015 年 1 月 1 日可取款 a(1x )2 元，同理可得 2018 年 1 月 1 日可取款 a(1x) 5 元【答案】 A3某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( )A一次函数 B二次函数C指数型函数 D对数型函数【解析】 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D 选项对数型函数符合题设条件，故选 D.【答
15、案】 D4表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距 80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：图 344骑自行车者比骑摩托车者早出发 3 h，晚到 1 h；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；骑摩托车者在出发 1.5 h 后追上了骑自行车者；骑摩托车者在出发 1.5 h 后与骑自行车者速度一样其中，正确信息的序号是_. 【导学号：97512057】【解析】 看时间轴易知正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此正
16、确；两条曲线的交点的横坐标对应着 4.5，故正确；错误【答案】 5函数 f(x)1.1 x，g(x )ln x1，h(x )x 的图象如图 345所示，12试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c ，d，e 为分界点 )图 345【解】 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线 C1对应的函数是 f(x)1.1 x，曲线 C2 对应的函数是 h(x)x ，曲线 C3 对应12的函数是 g(x)ln x1.由题图知，当 xh( x)g(x)；当 1g(x)h(x)；当 ef(x)h(x)；当 ah(x)f(x)；当 bg(x)f(x)；当 cf(x)g(x)；当 xd 时，f(x)h(x)g(x)
