1、14 生活中的优化问题举例考点一：体积（容积）最大问题1、 在边长为 60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解析 设箱高为 xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积 V是 x的函数，V(x)(602x) 2x(00，当 100.因此函数在 x30(km)处取得最小值，此时 AC50x20(km)供水站建在 A，D 之间距甲厂 20km处，可使水管费用最省解法 2：设 BCD ，则 BC，CD40cot . AC5040cot .设总的水管费用为 f( )，依题意，有 f( )3
2、a(5040cot )5 a150 a40 a f( )40 a40 a.令 f( )0，得 cos .根据问题的实际意义，当 cos 时，函数取得最小值，此时sin ，cot ， AC5040cot 20(km)，即供水站建在A， D之间距甲厂 20km处，可使水管费用最省2、设有一个容积 V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的 3倍，问如何设计使总造价最小？由于 V r2h，得 h，所以 y4 m r2( r0)所以 y8 m r，令 y0，得 r ，此时， h4 .当 r 时， y0，因此r 是函数 y4 m r2( r0)的极小值点，也是最小值点故当 r 时，
3、y有最小值，即 h r41 时，总造价最小答：当此铁桶的高与底面半径之比等于 41 时，总造价最小.考点三：利润最大问题1、 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P24200 x2，且生产 x吨的成本为R50000200 x元问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本)解析 每月生产 x吨时的利润为f(x)(24200 x2)x(50000200 x) x324000 x50000 ( x0)由 f ( x) x2240000解得 x1200， x2200(舍去)因 f(x)在0，)内只有一个点 x200
4、 使 f ( x)0，故它就是最大值点，且最大值为： f(200)200 324000200500003150000(元)答：每月生产 200吨产品时利润达到最大，最大利润为 315万元2、某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益通过对市场的预测，当对两项投入都不大于 3百万元时，每投入 x百万元广告费，增加的销售额可近似的用函数y12 x214 x(百万元)来计算；每投入 x百万元技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数 y2 x32 x25 x(百万元)来计算现该公司准备共投入 3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益
5、(注：收益销售额投入，答案数据精确到 0.01)(参考数据：1.414，1.732)解析 设 3百万元中技术改造投入为 x百万元，广告费投入为(3x)百万元，则广告投入带来的销售额增加值为y12(3x) 214(3x)(百万元)，技术改造投入带来的销售额增加值为y2 x32 x25 x(百万元)，所以，投入带来的销售额增加值为F(x)2(3 x)214(3 x) x32 x25 x.(0 x3)由于投入为常量，采取措施前的收益、投入也是常量所以该公司收益最大时就是销售额增加值最大的时候整理上式得F(x) x33 x24，因为 F( x) x23，令 F( x)0，解得 x或 x(舍去)，当 x0，)， F( x)0，当 x(，3时， F( x)0，又因为 F(0)24， F(3)24， F()242，所以 x1.73 时， F(x)取得最大值所以当该公司用于广告投入 1.27百万元，用于技术改造投入 1.73百万元时，公司将获得最大收益
