1、2011-2012 学年高一数学必修 1（人教版）同步练习第二章第一节指数函数一、学习目标：1. 了解基本初等函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数）的实际背景。了解实数指数幂的意义及对数的作用、了解指数函数与对数函数互为反函数的性质。2. 理解指数、对数的概念及其运算性质，理解指数函数、对数函数，一次函数、二次函数、幂函数的图象与性质。3. 掌握幂的运算、对数运算及指数函数、对数函数、一次函数、二次函数性质的应用二、重点、难点：重点：（1）指数幂、对数的运算（2）对一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质的理解。难点：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质
2、的应用三、考点分析：函数这部分内容是高考中的重点与难点，基本的初等函数是高考函数基础知识考查的重点，因此第一轮的复习重点是把握基本函数的基础知识及其简单的应用，这部分知识点是高考命题的“黄金”知识点，命题的题型有选择题、填空题、中等类型的大题等。知识梳理注：（1）二次函数的解析式的确定方法有三种形式一般式：若已知二次函数经过 A，B，C 三点，可设解析式为 cbxaxf2)(，把三点坐标代入求出 a，b， c 的值。零点式：若已知二次函数图象与 x 轴有两个交点 0,),(21BxA，可设解析式为：)()(21xxf，再根据其余的条件确定 a 的值。顶点式：若已知二次函数的顶点坐标（h，k）
3、，则可设函数解析式为： khxaf2)()的形式，再根据另外的条件确定 a 的值。（2）二次函数的最值的确定（i）若 Rx，a 0，当 abx2时，函数取得最小值 abcxf4)(2min；若 Rx，a0，当b2时，函数取得最大值cf4)(2mx。（ii）当 ,n（或其他区间） ，讨论对称轴与区间m，n的三种位置关系。当 a2bx,nm时，函数)2()(minabfxf， )n(f,max(fm当 ,时，函数 )(i)(infxf ， )(xanff（上述讨论的是 a0 的情形，对于 a0 也可进行类似讨论）注：1. 常用的对数运算公式：（1） alogbl)3(,blogmnblog)2(,
4、1alogbl maaaa （换底公式）（4） Nl（对数恒等式）2. 指数函数与对数函数的图象与性质性质：（1）过定点（0，1） （1）过定点（1，0）（2）当 a1 时：x0 时，y1，x0 时，0y1 （2）当 a1 时：x1 时，y0，0x1，y0（3）当 0a1 时：x0 时，0y1 ，x0 时，y1 （3）当 0a1 时：x1 时，y0 ，0x1，y0（4）当 a1 时，是增函数，0a1 时，是减函数 （4）当 a1 时,是增函数,0a1 时，是减函数反函数：指数函数与对数函数互为反函数注：互为反函数的两个函数的图象关于直线 yx 对称。幂函数：定义：形如 )(,Rnxy的函数叫幂
5、函数。典型例题知识点一：一次函数、二次函数的图象、性质及简单应用例 1. （基础题）解答下列各小题：（1）已知一次函数 mxy)1(2的图象不经过第三象限，求 m 的取值范围是_。（2）二次函数 )0()acbxf 与 x 轴的交点为（1，0） ， （4，0）且过定点（0，1）求f（x）的解析式是 _。（3）已知二次函数 ,(2f一次函数 2)(xg，当二次函数的图象在一次函数图象上方时，x 的取值范围是 _。（4）求二次函数 14)xx， （ 3,）的最值。思路分析：（1）考查一次函数图象的知识：ykxb 的图象不在第三象限的充要条件是 0bk，故有 0m2由此确定 m 的取值范围。（2）由
6、已知设抛物线解析式为： )4(1)(xaxf，把点（0，1）代入即可求出 a 的值。（3）二次函数的图象在一次函数图象上方 gf，解此不等式求 x 的取值范围。（4）判断二次函数的对称轴 x1 3,，故函数在顶点处取得最小值，然后再比较 )3(,1f，求出最大值。解题过程：（1）由已知得：1m02，故 m 的取值范围是0，1）（2）由已知设抛物线解析式为： )4()(xaxf，把点（0，1）代入解析式得：1a（01） （04） ，解得：a ，故)4(xf342x（3）由已知得： 130421)(2 xxxgf 或，故 x 的取值范围是1,),(（4）因对称轴 x1 3,且 a0，故 )1()(
7、minff， )3(,ma)(ff7解题后的思考：对于判断一次函数 ykxb（k 不为零）的图象通过的象限，取决于 k，b 的取值，不通过第一象限时： bk，不通过第二象限时： 0，不通过第三象限时：,0不通过第四象限时： 0bk。对于将所求二次函数的解析式设为哪种形式可根据已知条件选择一般式，零点式或顶点式等。在求二次函数在给定区间的最值问题时，要判断对称轴与区间的位置关系。同时在处理函数问题时注意数与形的转换（如第 3 题） ，对此类问题的考查，一般都是在函数大题的某一问中出现。也有可能以填空或选择题的方式考查。例 2. （中等难度题）（1）求函数 ）0(,12)(2axaf 在区间0，3
8、上的最大值。（2）已知二次函数 的二次项系数是 a，抛物线的顶点是（1，2） 。若方程 0xf有两个相等的实根， （i）求函数 f（x）的解析式；（ii）解不等式 f（x） 49（3）已知方程 0)2()1(2a的一根大于 1，另一根小于 1，求 a 的取值范围。思路分析：（1）对 a0，a 0 进行讨论。a 0 时，函数是一次函数，且在区间 0，3内递增；a0 时函数是二次函数。讨论对称轴与区间的位置关系，求值域。（2）根据已知条件设出解析式，根据 )(xf有两个相等的实根，利用 求 a 的值，确定函数解析式，再解不等式 f（ x） 49。（3）根据二次函数图象解决：设 )2()1()(2a
9、f二次函数与 x 轴的两个交点的横坐标是方程的两个根，故已知等价于 af0)1(的范围。解题过程：（1）当 a0 时， 12)(xf，此时函数在区间 0，3上是增函数93,12)()(maminff当 a0 时， x是二次函数，对称轴是直线 2ax此时，二次函数在区间0，3上是增函数故此时 9)3()(,12)0()( .maxmin affff（2） （i）由已知设解析式为 21x方程 0axxf 有等根40)2(4)1(2故所求函数解析式是 49211(2xf（ii）由 f（x） 49得：202 x不等式的解集是 ,0（3）设 )()1()(2a，则方程 0)()1(2ax的两个根就是图象
10、与 x轴交点的横坐标。故由图象知：f（1）0，即 a1解题后的思考：求含有参数的二次函数的最值问题时，注意对称轴与区间位置关系的讨论，且当二次项系数含有参数时要注意参数是否等于零？（如本题 1，不可盲目认为 ）0(,12)(2axaf 是二次函数。此类问题主要考查对分类讨论的数学思想的应用。二次函数与一元二次不等式之间的密切联系是高考命题的重要的知识交汇点。因此理解二次函数与二次不等式、二次方程之间的关系尤为重要。例 3. （应用意识题）在经济学中，函数 f（x）的边际函数 )(1()xffxMf，某公司每月最多生产 100 件产品，生产 x 件产品的收入函数为 203)(R（单位：元）其成本
11、函数 ,405)(xC（单位：元） ，利润收入成本（1）求利润函数 p（x）及边际利润函数 Mp（x） ；（2）利润函数 p（x）及边际利润函数 Mp（x）是否有相等的最大值。思路分析：（1）p（x）R（ x）C （x） )405()203(x（2）利用二次函数分别求出利润函数和边际函数的最值，再进行比较。解题过程：（1）p（x）R（ x）C （x） )405()203(xx N,10,4250,428)(p1()M（2）75，故当 x=62 或 x=63 时，p(x) 最大元740)(maxp元的 最 大 值 是时 ，是 减 函 数 ， 故 当 240)(1xMpx故利润函数 p（x）及边际
12、利润函数 Mp（x）不具有相等的最大值。解题后的思考：对于数学应用意识的考查是高考命题的重点，解决此类问题的关键是理解题意、建立模型、解决问题，考查的题型形式不同，有可能以选择或填空题的形式考查，也有可能以大题的形式考查。知识点二：指数、指数函数，对数、对数函数，反函数、幂函数的图象与性质的简单应用。例 4. （基础题）填空题：（1）若 32x，则_23x。（2）若 15ba，则 ba。（3）方程 x（a1）的根的个数是_。（4）函数 )82(log3xy的定义域是_。（5）y e的图象与函数 g（x）的图象关于直线 yx 对称，则 g（x）_。（6）已知函数 )0(,l)(2f，则_)41(
13、f。（7）方程3124xx的根是_。（8）设_21)(:,log)(9 的 值 是的则 满 足 xff。（9）幂函数 f（x）的图象过点 Q（2，8） ，则其解析式是 _。（10）一次函数 h的图象过函数 的 定 点1xaf及函数 )3(log)(xa的定点，则)(xh_。思路分析：本题考查指数、对数运算及指数函数、对数函数、幂函数的基础知识。（1）由 33)2(xx（ )2()2(xxxx 代入式中求解。（2）由计 算利 用得 ： abbaaba log1l,15log,l153 （3）作出两个函数的图象即可以看出结果。（4）由指数函数、对数函数的定义域知： 082x。（5）考查反函数的概念
14、，指数函数与对数函数互为反函数。（6）根据分段函数的表达式代入先求出)41(f，再求)41(f的值。（7）将方程左右两边化为同底，再转化为整式方程。（8）由 21log9x求 x 的值。（9）设幂函数解析式为 f)(（ )R，把点 Q（2，8）代入求 。（10）函数 的 定 点1)(af是（1，1） ， )3(log(xa过定点（2，0） ，根据上述两点坐标求一次函数解析式。解题过程：（1）由 33)2(xx（ )2xxx )(2(2x原式 1x由 1)(9)222xxx故 23x（2） 5log,1l153baba得 ： 2log3l15（3）作出两个函数的图象如图：方程根的个数是 1 个（
15、4） 082xR解得：x4 或 x2故函数的定义域是 ),(),(（5）由反函数的定义知： xgln， （x0）（6） 913)()41,41lo)( 22 fff（7）由3xx得： 621xx 072x4653x（8）由 21log93x（9）设幂函数的解析式为 f)(（ )R，把点 Q（2，8）代入得： 3，解析式是3)(xf（10）函数 的 定 点1)(xaf是（1，1） ， )3(log(xa过定点（2，0） ，设一次函数解析式是： 0,kby22xy解题后的思考：对于指数、对数运算、指数函数、对数函数、幂函数、反函数等基础知识的考查主要以选择或填空题为主。另外，新课标对反函数和幂函数
16、的要求很低，不需要做太多关于反函数和幂函数的难度偏大的题目，只要掌握其概念和定义就可以了。例 5. （中等难度题）（1）已知： 3131)2()(aa，则 a 的取值范围是_。（2）已知),0,logxxfa且求 f（x）的定义域，判断 f（x）的奇偶性，解不等式 f（x）0（3）已知关于 x 的方程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 解3)(13(312 xm，求 m 的取值范围。思路分析：（1）函数 3y在（0， )和（ ),上单调递减。要对（a1） ， （32a ）的符号及大小关系进行讨论。（2）根据对数函数的定义域 1x可求定义域。在定义域关于原点对称的情况下利用奇函数的定义进行判断
17、，解不等式 f（ x）0 时，要对底数 a 进行讨论。（3）令 xt0。原方程转化为： 0)1(23mtt（*）原方程有解 方程（*）有两个不相等的正实数根。根据一元二次方程有两个正实数根的条件建立关于 m 的不等式组。解题过程：（1）函数 31xy在（0， )和（ ),上单调递减。021223 aaa或或 1，故 a 的取值范围是),()3,（2）由0xx，故函数定义域为（ 1，1）由：函数定义域关于原点对称，且 )(xf01loglxxaa，故函数为奇函数当 a1 时，由 f（x）0 11logl xxaa解得：0x1当 0a1 时，由 f（x）0 11logl xxaa解得1x0故当 a
18、1 时不等式 f（x）0 的解集是（0，1） ，当 0a1 时，不等式f（x）0 的解集是（1，0）（3）令 xt0。原方程转化为： 0)1(23mtt（*）原方程有解 方程（*）有两个不相等的正实数根故所求 m 的取值范围是（)213,解题后的思考：高考考查函数知识时，特别注重考查数学思想和方法的应用。如本例第 2 题就是考查分类讨论的数学思想的应用，第 3 题则是考查转化的数学思想的应用。例 6. （创新题）定义运算： )(,ba，则函数 xf2)(的值域是_。思路分析：根据定义：要讨论当 x 取何值时， x，x 取何值时， x2，即求出函数f（x）的解析式是解题的关键。解题过程：当 x2
19、时， 0，当 时，x 0)(,)(fx，当 x 时，函数 x2的值域是 1当 x0 时，函数 的值域是（ 0，1）故函数 xf2)的值域是 解题后的思考：对分段函数求值域应是在定义域的每一个子区间内的各个函数值域的并集。提分技巧一次函数、二次函数及基本的初等函数知识内容是新课标高考命题的重点，其基础知识考查会以选择、填空题的形式出现，综合知识的考查是以综合题的形式出现，且常与方程、不等式、导数等内容紧密联系，试题有一定的难度。但不论是对基础知识的考查还是对综合知识的考查都会注重对数学思想、数学方法的考查，并借此考查学生应用函数意识、创新意识及相应方法的能力。预习导学一、预习新知1. 中学阶段你
20、学过的函数具有哪些性质？2. 总结一下函数的四大性质二、预习点拨1. 函数单调性的定义是_（1）判断函数在某个区间的增减性的方法有哪些？举例说明（2）总结一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性2. 函数奇偶性的定义是_（1）判断函数的奇偶性要注意函数的定义域满足什么条件，为什么要这样做？（2）判断函数奇偶性的方法有哪些？3. 函数的周期性是如何定义的？你学过的哪些函数是周期函数？4. 你了解函数的对称性吗？在你学过的函数中有哪些函数图象关于 x 轴对称，哪些函数图象关于 y 轴对称？哪些函数图象关于原点对称？请自己总结一下。同步练习时间：35 分钟）一、填空题1. 一次函数 y（2k3）xb 在 R 上是减函数，则 k 的取值范围是_。2. 二次函数 )0(1)(2af 在区间0，1上的最大值是_。3. 53259.1,8.4从大到小的顺序是_。4. 32a的计算结果是 _。5. 函数 1)(xf恒过定点 P，则 P 点坐标是_ 。6. 函数 y2log的图象与 g（x）的图象关于直线 yx 对称，则 g（x）_。
