1、第二章 基本初等函数2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(1)目标导航1 理解 次方根、根式的概念；n2 正确运用根式运算性质；3 培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力；励志名言解题是一种实践性技能，就象游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它 波利亚要点聚焦1定义：一般地，若 则 叫做 的 次方根*),1(Nnaxnxan叫做根式， 叫做根指数， 叫做被开方数例如，27 的 3 次方根表示为 ，na 327-32 的 5 次方根表示为 ， 的 3 次方根表示为 ；16 的 4 次方根表示为 526a36a，即 16 的 4 次方根有两个，一个是 ，另
2、一个是- ，它们绝对值相等,符号416411相反.2性质：当 为奇数时：正数的 次方根为正数，负数的 次方根为负数.记作: nnnnax当 为偶数时，正数的 次方根有两个（互为相反数）.记作: 负数没有偶次方根， 0 的任何次方根为 0注：当 时， na0，表示算术根，所以类似 416= 的写法是错误的. 23常用公式根据 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：当 为任意正整数时，( n) .例如，( ) =27，( ) =-32.na37535当 为奇数时， ；当 为偶数时， =|a|= .an)0(a例如， =-2， =2； =3， =|-3|=3.3)2(5432)(根式的基本性质： ，
3、 （a 0）.nmnp注意，中的 十分重要，无此条件则公式不成立. 例如： .0a 3628)(用语言叙述上面三个公式：非负实数 的 次方根的 次幂是它本身. n 为奇数时，实数 的 次幂的 次方根是 本身； 为偶数时,实数 的 次幂的nanan次方根是 的绝对值.a若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.经典题例例 1 求下列各式的值： 3)8(2)10( 44)ba分析 利用根式的性质去掉绝对值是解本题的关键解 = 8 3)( = |-10|= 10210 = | |=44)3(3 ( )2ababab
4、点评 特别注意根指数为偶数的运算，其中去掉“ ”结果如何？例 2 (1)5674362; 22()()xx分析 （1）中根号里如何化为一个数的平方；（2）中应注意 x 的范围.解 22 2 22()5674363()3()()()()|3|32(2)点 评 :此 题 开 方 后 先 带 上 绝 对 值 ， 然 后 根 据 正 负 去 掉 绝 对 值 符 号 。(2),2,310,3,()30xxxx故 原 式 =点评 有关根式运算的问题要紧扣条件，根式的概念要清楚。星级提速 21. ()1.0.1.2xABxCxD成 立 的 条 件 是 .2235,309_xyy2.当 时 2(4)_6求 下
5、 列 各 式 的 值 :()-7= x-1 a3星级提速 2210,(8)(10)_xx.当 8时2.化 简 ：3已知32 *1, )nnaanN求 的 值 （ 其 中4若11222 4(0),xxaxa求 的 值星级提速(),12910)()()0xaffff已 知求 的 值趣味数学一架飞机从 A 城飞往 B 城，然后返回 A 城。在无风的情况下，它整个往返飞行的平均地速（相对于地面的速度）为每小时 100 英里假设沿着从 A 城到 B 城的方向笔直地刮着一股持续的大风。如果在飞机往返飞行的整个过程中发动机的速度同往常完全一样，这股风将对飞机往返飞行的平均地速有何影响？怀特先生论证道：“这股
6、风根本不会影响平均地速。在飞机从 A 城飞往 B 城的过程中，大风将加快飞机的速度，但在返回的过程中大风将以相等的数量减缓飞机的速度”“这似乎言之有理，”布朗先生表示赞同，“但是，假如风速是每小时 l00 英里飞机将以每小时 200 英里的速度从 A 城飞往 B 城，但它返回时的速度将是零！飞机根本不能飞回来！”你能解释这似乎矛盾的现象吗？成长纪录做错的习题或感受较深的地方积累经验及教训学到新的方法或思路获得支持与鼓励存在的疑难问题或研究性学习目标2.1.1 指数与指数幂的运算(2)目标导航1 理解分数指数幂的概念2 掌握有理指数幂的运算性质3 会对根式分数指数幂进行互化4 培养学生用联系观点
7、看问题励志名言大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点，但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习 芝诺要点聚焦1正数的正分数指数幂的意义: (a0,m,nN *,且 n1)nma要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和 0 的分数指数幂作如下规定.2规定：(1) (a0，m,nN *,且 n1)；nma1(2)0 的正分数指数幂等于 0；(3)0 的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当 时，0a整数指数幂的
8、运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数 、 ，均有下面rs的运算性质.3有理指数幂的运算性质: (,);()(,)()mn mnaQaQbA 说明：若 a0，P 是一个无理数，则 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算p性质，对于无理数指数幂都适用经典题例例 1 计算下列各式（式中字母都是正数） 2121651323 4)(4)( ;6xxeebaba分析 （1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）利用乘法公式并结合分数指数幂的运算性质解题。 解 abbaba4)3(62)3()6)( 0 6531265112132 112
9、22144)x xxxee()原 式 ( 例 2 435)2(93713aa分析 先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。解 原式= 4512431242432423 55)5( = ；11原式 319732 2()()aa =1310a点评 利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数星级提速1 求值：21 3332 41680_;()_;()_48 _;2 等于（ ）3639494()()aA
10、 B C D18a4a2a633.:.512计 算 11244.:()()xy化 简33415.()()()(aaa星级提速 1,02, )bbaaa.若 且 则 的 值 等 于 ( A B 2 C-2 D261111132684 1323232.()()()();.;.;. 3把下列根式用指数形式表示出来,并化简 563(1)2_.ax4.求下列各式的值: 2123654 3()4(1).; 5xy 5 已知： ，求证：632dcba )1(1)(cbda星级提速设 ， ，化简： .0mnmnx42xA趣味数学一对漂亮的姐妹生来爱说谎姐姐在中午以前都说实话，午后开始撒谎；妹妹则正好相反，午前
11、说谎，午后恢复正常有人问：“两位当中谁是姐姐？”胖的说：“是我 ”瘦的也说：“是我 ”再问：“现在几点钟？”胖的说：“快到中午了 ”瘦的说：“已过中午了 ”请问：现在究竟是早上还是下午？哪个是姐姐？成长纪录做错的习题或感受较深的地方积累经验及教训学到新的方法或思路获得支持与鼓励存在的疑难问题或研究性学习目标2.1.1 指数与指数幂的运算(3)目标导航1 进一步熟悉有理指数幂运算性质。2 掌握化简、求值的基本技巧，以达到简化运算的目的。3 培养学生思维的敏捷性、广阔性及应用意识。励志名言数学是无穷的科学赫尔曼外尔经典题例例 1 已知： ， ，求 的值.72a25b 354314323496bab
12、a解 由 ，314314323 )(96b又 ， ，从而得 ，1a5ba2ba原式= =35413209b354231029= .50)2(9)(2231023 bab例 2 已知 x+x-1=3,求下列各式的值： .)(,)(2321xx分析 题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论；题若立方则可出现（1）题形式与已知条件，需将已知条件与（1）题结论综合；或者，可仿照（1）题作平方处理，进而利用立方和公式展开。解 111122212212()()325530xxxxx又 由 得所 以 3111113322222212()()()(5xxxx （ 点评 题注重了已知条件与所求之间的内
13、在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视， 应强调以引起学生注意。题解法一注意了题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用，耐用具有一定层次，需看透问题实质方可解决得彻底，否则可能关途而废。另外，题也体现了一题多解。星级提速1求下列各式的值：(1) （2） （） （4）2121)496(3032)715(2 3,53_.abab3计算下列各式：21324 4()6)( 150； （ 2） 3（ ）4化简：1122()()ab星级提速1化简： )()2(2aa5343232331108()abba29 2.求 下 列 各 式 的 值 ：（ ） （ ） （ ）（ ）111242423.:()()()xxx化 简 324.:0,xxaa已 知 求 ： 的 值 .
