1、1中档题专练(四)1.如图,AB 为圆 O 的直径,点 E,F 在圆 O 上,且 ABEF,矩形 ABCD 所在平面与圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB=2,AD=EF=1.(1)设 FC 的中点为 M,求证:OM平面 DAF;(2)求证:AF平面 CBF.2.在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,cosB= .45(1)若 c=2a,求 的值;sinBsinC(2)若 C-B= ,求 sinA 的值. 43.如图,已知椭圆 E: + =1(ab0)的长轴为 AB,过点 B 的直线 l 与 x 轴垂直,椭圆 E 上一点与椭圆 E 的x2a2y2b2长轴的两个端点构成的三
2、角形的最大面积为 2,且椭圆 E 的离心率 e= .32(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)设 P 是椭圆 E 上异于 A、B 的任意一点,连接 AP 并延长交直线 l 于点 M,N 为 MB 的中点.2若点 F1为椭圆的左焦点,点 F2为椭圆的右焦点,F 1关于直线 PN 的对称点为 Q,当点 P 的坐标为时,求证:点 P,Q,F2三点共线;(455, 55)试判断直线 PN 与椭圆 E 的位置关系,并证明你的结论.3答案精解精析1.证明 (1)设 DF 的中点为 N,连接 MN,AN,则 MN CD,MN= CD,12 12又AO CD,AO= CD,MNAO,MN=AO,四边形 MNAO
3、 为平行四边形,OMAN,又AN平面 DAF,OM12 12面 DAF,OM平面 DAF.(2)平面 ABCD平面 ABEF,CBAB,CB平面 ABCD,平面 ABCD平面 ABEF=AB,CB平面 ABEF,AF平面 ABEF,AFCB.AB 为圆 O 的直径,AFBF.CBBF=B,CB,BF平面 CBF,AF平面 CBF.2.解析 (1)解法一:在ABC 中,因为 cosB= ,所以 = .45 a2+c2-b22ac 45因为 c=2a,所以 = ,即 = ,所以 = .(c2)2+c2-b22cc2 45 b2c2920 bc3510又由正弦定理得 = ,所以 = .sinBsin
4、Cbc sinBsinC3510解法二:因为 cosB= ,B(0,),所以 sinB= = .45 1-cos2B35因为 c=2a,由正弦定理得 sinC=2sinA,所以 sinC=2sin(B+C)= cosC+ sinC,65 85即-sinC=2cosC.又因为 sin2C+cos2C=1,sinC0,解得 sinC= ,255所以 = .sinBsinC3510(2)因为 cosB= ,所以 cos2B=2cos2B-1= .45 725又 0B,所以 sinB= = ,1-cos2B35所以 sin2B=2sinBcosB=2 = .35 452425因为 C-B= ,即 C=
5、B+ ,所以 A=-(B+C)= -2B,所以 sinA=sin =sin cos2B- 4 4 34 (34 -2B) 34cos sin2B= - = .34 22 725(- 22) 2425312503.解析 (1)依题设条件可得:ab=2, = .又 a2-c2=b2,解得 a2=4,b2=1,ca 32所以椭圆 E 的标准方程为 +y2=1.x244(2)证明:直线 AP 的方程为 y= (x+2),14+25求得点 M 的坐标为 ,点 N 的坐标为 ,直线 PN 的斜率 k=-1,(2,22+ 5) (2, 12+ 5)直线 PN 的方程为 y=-x+ ,5设左焦点 F1(- ,
6、0)关于直线 PN 的对称点为 Q(x1,y1),则3y1x1+ 3=1,y12= -x1- 32 + 5,解得 即 Q( , + ),x1= 5,y1= 5+ 3, 5 5 3所以直线 PQ 的斜率 k1=4+ ,又直线 PF2的斜率 k2= = =4+ ,1555455- 3 14- 15 15所以 k1=k2,即点 P,Q,F2三点共线.直线 PN 与椭圆 E 相切于点 P.证明如下:设 P(x0,y0),又 A(-2,0),所以直线 AP 的方程为 y= (x+2),令 x=2,得 y= ,即 M .y0x0+2 4y0x0+2 (2,4y0x0+2)又 B(2,0),N 为 MB 的中点,所以 N ,于是直线 PN 的方程为 y-y0= (x-x0),即 y= (x-x0)(2,2y0x0+2) 2y0x0+2-y02-x0 x0y0x20-4+y0.因为 + =1,所以 -4=-4 ,所以 y= (x-x0)+y0,整理得 y= .x204y20 x20 y20 x0y0-4y20 4-x0x4y0由 消去 y 并整理得( +4 )x2-8x0x+16-16 =0,即 x2-2x0x+ =0,此方程的根的判别式x24+y2=1,y=4-x0x4y0 x20 y20 y20 x20=(-2x 0)2-4 =0,x20所以直线 PN 与椭圆 E 相切于点 P.
