1、平行线1平行线(1)平行线的概念及表示平行线：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，如图，AB 与 CD 平行，记作“ABCD” ，读作：“AB 平行于 CD”关于平行线的概念a在平行线 的定义中，在同一个平面内这个条件不能少，因为在空间里还存在既不平行也不相交的直线；b平行线是无限延伸的，无论怎样延伸都不会相交；c今后遇到线段、射线平行时，均指线段、射线所在的直线平行；d在同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行(2)平行线的画法用三角板、直尺画平行线简单地说就是“两靠一移一画” 所谓“两靠”是指把三角板的一边靠在已知直线上，直尺靠在三角板的另一边上；“一移”是指三角板靠在
2、直尺上移动到已知点；“一画”是指沿三角板的边缘画直线如图(3)平行线的性质过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行a应正确理解“有且只有”的含义，它包含两层意思：“有”表明存在一条与已知直线平行的直线；“只有”表明与已知直线平行的直线是唯一的b以上结论说的是经过“直线外一点” ，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了，重合不是两条直线的位置关系，当两条直线重合时，它们表示同一条直线如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行即若a c， b c，则 a b.【例 1】 已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有_条平行线分析：若四条直线两两不相交，则此时
3、四条直线相互平行，且没有交点；若四条直线中有三条直线相互平行，则此时恰好有三个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条不平行，则此时有三个交点或五个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条也平行，但它们之间相互不平行，则此时有四个交点；若四条直线中没有平行线，则此时的交点是一个或四个或六个综上，这四条直线中最多有三条平行线答案：32.平行线的判定(1)两直线平行的判定方法有三个：方法 1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简称同位角相等，两直线平行)；方法 2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行(简称内错角相等，两直线平行)；方法
4、3.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行(简称同旁内角互补，两直线平行)解读：以上三个判定方法，结合基本图形(如图)，其符号语言分别为：方法 1.因为1=2，所以 l1 l2(同位角相等，两直线平行)方法 2.因为2=3，所以 l1 l2(内错角相等，两直线平行)方法 3.因为2+4=180，所以 l1 l2(同旁内角互补，两直线平行)注意：在解决与平行有关的问题时，要排除图形中其他线的干扰，分清由角的关系可判断哪两条直线平行，避免“张冠李戴”现象的发生避免错误的方法是找出由两个角确定两条直线平行的基本图形，看清是哪两条直线被同一条直线所截形成的同位角相等或内错角相等
5、，或同旁内角互补，才能判定是哪两条直线平行(2)在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行理由：如图， a c， b c.转化为同位角判断： a c， b c，1=3=90. a b(同位角相等，两直线平行)或转化为内错角判断 a c， b c，2=4=90. a b(内错角相等，两直线平行)或转化为同旁内角判断： a c， b c，2=3=90.2+ 3=180. a b(同旁内角互补，两直线平行)注意：已知条件中的三条直线都应该在同一个平面内，否则结论不成立【例 2】 如图，已知12，34，试判断直线 EF 与 GH 是否平行，并说明理由分析：要判断 EF 与 GH 是否平行，
6、只要能找到与直线 EF， GH 有关的一对角(同位角、内错角、同旁内角都可以)，然后判断它们是否相等或互补即可解：12( 已知)，2 CGE(对顶角相等)，1 CGE.又34(已知)，134 CGE，即 MEF EGH， EF GH(同位角相等，两直线平行)解技巧 由角定线 本例的解题过程可用“由角定线”这四个字来概括，即通过说明某些角相等(或互补)来识别两直线平行解题关键是角与线要找准对应关系3平行线的性质(1)平行线的性质：性质 1.两直线平行，同位角相等；性质 2.两直线平行，内错角相等；性质 3.两直线平行，同旁内角互补(2)解读：以上三个特征，结合基本图形(如图)，其符号语言分别为：
7、性质 1.因为 l1 l2，所以12(两直线平行，同位角相等)性质 2.因为 l1 l2，所以23(两直线平行，内错角相等)性质 3.因为 l1 l2，所以24180(两直线平行，同旁内角互补)析规律 研究几何图形时要关注的两个方面 研究几何图形常常有两个方面的问题，一是要研究图形的“条件” ，二是要研究图形的性质【例 3】 如图，直线 EF 分别交 AB， CD 于 E， F 两点， BEF 的平分线交 CD 于点 G，若 EFG72， AEM108，则 EGF 等于( )A36 B54 C72 D108解析：先由 EFG 与 AEM 互补 的关系，通过对顶角相等的桥梁得到 AB CD，再利
8、用角平分线及平行线的性质求得 EGF 的度数具体解答如下：因为 FEB AEM108(对顶角相等)，所以 EFG FEB72108180，所以 AB CD(同旁内角互补，两直线平行)，所以 EGF GEB(两直线平行，内错角相等)又因为 GE 平分 BEF，所以 GEB FEB54，所以 EGF54.12答案：B4根据平行线的性质求角的度数学习了平行线的性质，我们可以根据性质来解决一些角度的计算以及探索角度关系的问题由两条直线平行，可以得到角的相等或 互补关系，再结合对顶角、角平分线、垂直、平角 等有关知识可以求出角的度数但有一类问题不能根据已知条件直接求出角的度数或找到角的关系，需要先适当地
9、引平行线，然后综合借助平行线的性质求解当所求的角和已知角的度数没有直接关系时，可通过添加平行线，借助平行线的性质解决警误区 应用平行线的性质时要注意的问题 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都是平行线特有的性质，解题时切不可忽略前提条件：“两直线平行” 当两直线不平行时，同位角、内错角就不相等，同旁内角也不互补 【例 41】 如图， AB CD，若 ABE120， DCE35，则有 BEC_ _度解析：要求 BEC 的度数，可过 E 点作 EF AB，根据 AB CD，可得 EF CD，这样可借助平行线的性质找到 BEC 与 ABE 和 DCE 之间的关系，从而求出 BEC 的度数答案：95
10、【例 42】 如图，已知 AB CD，则( )A123B1223C1223D118023解析：已知 AB CD，要找到1，2，3 之间的关系，可以过点 O 作 OE AB 交 BC于 E，因为 AB CD，所以 OE CD，根据两直线平行，同位角相等，可得2 COE，3 BOE，所以1 BOE COE23.答案：A5.平行线的识别方法(1)判断两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行平行于同一条直线的两直线平行垂直于同一条直线的两直线平行(2)平行线的识别，关键是正确认识同位角、内错角、同旁内角同位角、内错角、同旁内角都是由两条直线被第三条直线所
11、截而得到的，是“三线八角”中具有特殊关系的两角，没有“两条直线被第三条直线所截”这个前提条件，就不可能出现这三类角；正确辨认同位角、内错角、同旁内角的关键是分清截线和被截线(3)识别的要领是：辨认位置关系的两个角的公共边所在的直线即为截线，另外两边所在的两条直线即为被截线其中内错角和同旁内角必须在被截线的内部【例 51】 如图，请填写一个你认为恰当的条件_，使 AB CD.解析：可以根据内错角相等，两直线平行，条件是 CDA DAB，也可以根据同位角相等，两直线平行，条件是 PCD BAC，也可以根据同旁内角互补，两直线平行，条件是 BAC ACD180等答案： CDA DAB 或 PCD B
12、AC 或 BAC ACD180等【例 52】 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到 a b 的是( )A12 B24C34 D14180解析：因为14180，所以1 的对顶角与4 互补，所以 a b.答案：D6平行线的性质与判定之间的联系与区别(1)平行线的性质与判定之间既有联系又有区别，一定不能混淆两者的条件和结论，要把它们严格区别开来如下表所示：分类 条件 结论平行线的判定同位角相等内错角相等同旁内角互补 两直线平行平行线的性质两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补平行线的识别与平行线的特征是初学者极易混淆 和用错的从字面理解上来讲，平行线的识别是用其他条件(角相等或互补)来判定两
13、条直线平行与否，即平行是最后的结论；而平行线的特征是 ，两直线平行是条件，由此得出其他结论(2)平行线的性质与判定的综合运用平行线的判定与性质中的因果关系是倒置的平行线的判定是由角的数量关系来确定线的位置关系，平行线的性质是由线的位置关系来确定角的数量关系对判定方法而言， “两直线平行”是结论，而对性质而言， “两直线平行”则是必不可少的前提条件若先知道角，结论应是平行；若先知道平行，结论应是角相等或互补【例 61】 如图所示，下列推理及依据都正确的是( )A因为 DE BC，所以 AED C.依据是：同位角相等，两直线平行B因为 BED CBE，所以 DE BC.依据是：同位角相等，两直线平
14、行C因为 DE BC，所以 BED CBE.依据是：两直线平行，内错角相等D因为 AED C，所以 DE BC.依据是：两直线平行，同位角相等解析：A 中依据应是：两直线平行，同位角相等；B 中依据应是：内错角相等，两直线平行；D 中依据应是：同位角相等，两直线平行；故应选 C.答案：C警误区 不要混淆平行线的判定和性质 平行线的判定和性质的因果关系恰好相反在运用它们解题时，必须弄清楚“因”是什么， “果”是什么，以防混淆【例 62】 如图所示，完成下面的说理过程因为 DE BC，所以1_( )，所以 B_180( )因为 B3，所以_( )所以 B_180( )解析：解决此题要弄清各角的位置关系：1 和3 是内错角； B 和4，2 分别是同旁内角； B 和3 是同位角答案：3 两直线平行，内错角相等 4 两直线平行，同旁内角互补 AB EF 同位角相等，两直线平行 2 两直线平行，同旁内角互补
