1、单元 4（7-8）弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积典型例题分析例 1：（2006 河南课改）如图，一块含有 角的直角三角板 ，在水平桌面上绕点30ABC按顺时针方向旋转到 的位置若 的长为 ，那么顶点 从开始到结束所CABC 15cm经过的路径长为（ ） 0cm103c20c点拨先画出示意图，点 A 的运动路线是圆弧形，由弧长公式可知，需求出弧所对的圆心角及半径的长。注意弧长公式中 L、n、R 三变量之间的关系。此题利用解直角三角形和弧长公式求解。解： CB=90,3,15t BCA在 中 ， 230, 2CBA 18nRl故选 D例 2：已知：如图O 与O 外切于 C，半径分别为 3 和 1，
2、AB 与两圆相切于 A、B 两点，求阴影部分的面积点拨 图中阴影部分属于不规则图形，经添加辅助线转化为规则图形的面积和或差来解决。解题中，要领会“转化思想”，要善于利用题设信息适当添加辅助线，将复杂、不规则图形转化为简单、规则图形。解：连接 O1O2，O 1A,O2B,过点 O2作 于点 C，易知四边形 ABO2C 为矩形，1AO1O2=3+1=4，O 1C=3-1=2,C=90,RtA在 中 ， 1212=30,6,2243 9OB2112AAOBPPSS阴 影 梯 形 扇 形 扇 形ACAB2216031(3)2604例 3：如图，圆锥的母线长为 5cm，高为 4cm，则圆锥的侧面积是 ，
3、其侧面展开图扇形的圆心角是 度。 点拨 圆锥的侧面展开图是扇形，应注意把握立体图形与平面图形之间的关系，找准对应量的转化（如:扇形弧长=底面圆的周长；母线长=扇形半径等），理解、领会基本公式（如： ），巧妙解决问题。 练习中要注意空间想象能力的培养。,360nrSrR锥 侧解： .圆心角为 216015锥 侧基础训练一、选择题（本大题共 5 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1（2005 济南）如图，是一个滑轮的起重装置，已知滑轮的半径为 10cm，一条半径绕轴心 按逆时针方向旋转，当重物上升 cm 时，则半径 转过的面积是（假设OA5OA绳索与滑
4、轮之间没有滑动） （ ） 215cm20cm2c230cm2 题图 2.（2005 兰州）如图，扇形的半径为 30cm，圆心角为 120 ，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为 （ ） 10cm20c10cm20c3. (2006 北京)将如下图所示的圆心角为 的扇形纸片 围成圆锥形纸帽，使扇形的9AOB104 5两条半径 与 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是 （ ）OAB4. (2006 成都)如图，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为 9cm，底面圆的直径为 10cm，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形的纸片的圆心角度数是（ ）A B C D 15020
5、182405. 如果圆锥的母线长为 5 cm，底面半径为 3 cm，那么圆锥的表面积为 （ ）A.39 cm 2 B.30 cm 2 C.24 cm 2 D.15 cm 2二、填空题（本大题共 5 小题，请把正确答案填在题中的横线上）6. （2005 嘉兴）如图， 是各边长都大于 2 的四边形， 分别以它的顶点为圆心、ABC1 为半径画弧（弧 的端点分别在四边形的相邻两边上），则这 4 条弧长的和是_4 题图 6 题图 7 题图7. （2005 山东临沂）如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为 cm （不考虑接缝等因素，计算结果用 表示）2 8. (2006
6、 梅州)如图，两个半圆中，小圆的圆心 在大 的直径 上，长为 4 的弦OACD与直径 平行且与小半圆相切，那么圆中阴影部分面积等于 ABCD9. (2006 江西)若圆柱的底面半径为 ，高为 ，则它的侧面积是 2cm32cm10. 某种圆柱形罐头，如图所示，现有一只小蚂蚁欲从下底 A 处出发 ，爬行到上底的 C 处，则小蚂蚁爬行的最短路线长为 cm. A B C D9cm10cmACDB20cm30cm三、解答题（本大题共 5 小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）11. （2005 云南课改）如图，在矩形 中， ，以 为圆心， 长为半径ABCD2BC画弧交 于 ，ADF（1）若 长为 ，
7、求圆心角 的度数；C23F（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号及 的形式）12. 如图 8，一根绳子与半径为 30 cm 的滑轮的接触部分是 ，绳子 AC 和 BD 所ACmD在的直线成 30的角.请你测算一下接触部分 的长.( 精确到 0.1 m)ACA B C D O m图 813. （2006 安徽课改）如图是某工件的三视图，求此工件的全面积14.某生活小区有一块正方形的空地，设计用作休闲的场地和绿化场地。如图 1 是小明根据正方形空地完成的设计方案示意图（图中休闲场地是以正方形边长为直径的两个半圆，而阴影部分则为绿化场地.请你用直尺和圆规在同样的正方形内（图 2、图 3），画出两种
8、不同于小明的设计方案示意图，使他们的绿化场地面积（用阴影表示）与已知图 13 中的绿化场地面积相等。（不要求写作法）。15. 如图 11，有一直径是 1 m 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是 90的扇形 CAB.(1)被剪掉的阴影部分的面积是多少？(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？( 结果可用根号表示)A B C O图 11能力提高一、选择题（本大题共 5 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1如图 1，一块边长为 8 cm 的正三角形木板 ABC，在水平桌面上绕点 B 按顺时针方向旋转至 的位置时，顶点 C
9、从开始到结束所经过的路径长为(点 A、B、C在同一ABC直线上) （ ）A B. C. .16 D. 38316 364A B C A C图 12. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB、AC 的夹角为 120，AB 长为 30 cm，贴纸部分 BD 长为 20 cm，贴纸部分的面积为 （ ）A.800 cm 2 B.500 cm 2 C. cm 2 D. cm 23803503. （2005 浙江）已知 的斜边 ，一条直角边 ，以直线ABCRt AC为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为 （ BC）A B C D 81215204. 若圆锥的侧面展开图是半径为 a 的半圆，则
10、圆锥的高为 （ ）A. a B. C. a D. a333二、填空题（本大题共 5 小题，请把正确答案填在题中的横线上）5. （2005 吉林）如图，实线部分是半径为 的两条等弧组成的游泳池若每条弧所在9m的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为 m。 ACOB16 米4 米5 题图 6 题图 7 题图6. （2006 南充课改）如图， 的半径为 3， ， 切 于 ，弦A6ABOA，连结 ，图中阴影部分的面积为 BCOA7. （2006 湖南永州）明明家打算在一块长为 16 米，宽为 4 米的矩形土地上搭建一个截面为半圆形的全封闭蔬菜棚，并全部盖上塑料薄膜（如图所示），则所需薄膜的面积至少
11、平方米（结果可含 ，不考虑埋入土中部分的面积）8. （2005 内江课改）如图 8，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为 6m 的正三角形 ，ABC母线 的中点 处有一老鼠正在偷吃粮食小猫从 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫PB所经过的最短路程是 m （结果不取近似数） AB C图 8三、解答题（本大题共 5 小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）9.如图 9，等腰 RtABC 中斜边 AB=4，O 是 AB 的中点，以 O 为圆心的半圆分别与两腰相切于点 D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来.(结果用 表示)A B C D O E F图 910. （2006 贵阳课改）如图，这是一
12、个由圆柱体材料加工而成的零件它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏去”一个与圆柱体等高的圆锥而得到的其底面直径，高 求这个零件的表面积（结12cmAB8cC果保留 ）11. 现有总长为 8 m 的建筑材料，用这些建筑材料围成一个扇形的花坛(如图 11)，当这个扇形的半径为多少时，可以使这个扇形花坛的面积最大？并求最大面积.A B O 图 11AOB8cm12cC答案与提示基础训练一、选择题：1. C 2. A 3. B 4. B 5.C二、填空题：6. 6 7. 8. 9. 10. 223021三、解答题：（本大题共 5 小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）11. 解：（1）设 的度数
13、为 ，Fn由 ，得 80nRl1l所以 ，即 23660CB（2）由 ， ，9ABF得 0F在 中， ，Rt cos3AD，21所以 DA3()2FBCSD形12形所以 3DFBCFS阴 影 梯 形 扇 形12. 解：连接 OC、OD，OCAC，BDOD.AC、BD 夹角为 30, COD =150. 的弧长= =25.180513.解：由三视图可知，该工件为底面半径为 10cm，高为 30cm 的圆锥体， 这圆锥的母线长为 （cm）2310圆锥的侧面积为 （cm ），12圆锥的底面积为 （cm ），202圆锥的全面积为 （cm ） 10()2答：此工件为圆锥，全面积为 （cm ）。14.Cm
14、D15. 15解：(1)连接 AB，则 AB 为O 直径.S 阴影 =SO S 扇形 ABC=( )2 (cm2).148)(2(2)设所剪成圆锥的底面圆的半径为 r,则 2r= , r= (m).180982能力提高一、选择题：1. B 2. C 3. C 4.D二、填空题：5. 6. 7. 8. 24m3635三、解答题：9. 解：AC=ABcos45=2 ，连接 OE.2OEBC , OEAC.又 OA=OB，则 OE=BE=EC= AC= ,1S 阴影 =2(SOBE S 扇形 OEF)=2 .210. 解：这个零件的底面积 ，136A这个零件的侧面积 ，89圆锥的母线长 ，2210OB这个零件的内侧面积 ，6A所以这个零件的表面积为： 23901cm11. 解：设扇形的半径为 r cm，扇形的弧长为 L cm,扇形花坛面积为 S cm2，则2r+L=8,L=8-2rS= = .1l2(8)4rrS= =(r2) 2+4.24故当 r=2 时，S 最大 =4,即当扇形半径为 2 m 时，花坛面积最大，其最大面积为 4 m2.
