1、 15.3 定积分的概念考点一：根据定积分的定义求定积分1、 求 x3dx.解析 (1)分割0,1：01.(2)近似代替：作和3 3 3. 3.(因为 x3连续，所以 i可随意取而不影响极限，故我们此处将 i取为 xi， xi1 的右端点也无妨)(3)取极限：3 3 2， x3dxlimn .(此处用到了求和公式 132 3 n3(12 n)2 2)因此 x3dx.2、利用定积分的定义求 2dx的值解析 令 f(x)2.(1)分割：在区间 a， b上等间隔插入( n1)个分点，把区间 a， b等分成n个小区间(i1,2， n)，每个小区间的长度为.(2)近似代替、作和：取 i a( i1,2，
2、 n)，则 Sn2( b a)(3)取极限：2dxlimn Snlimn2( b a)2( b a).考点二：根据定积分的几何意义求定积分1、 求 1( x33 x)dx.解析 yx 33x 为1,1上的奇函数，图象关于原点对称，曲边梯形在 x轴上方部分面积与在 x轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知 (x 33x)dx0.2、用定积分的意义求值解析 (1)由直线 x1，x3，y0 以及 y3x1 所围成的图形，如图所示：表示由直线 x1， x3， y0 以及 y3 x1 所围成的图形在 x轴上方的面积减去在 x轴下方的面积，(331)216.考点三：利用性质求定积分1、(1)计算 的值（2
3、）已知 ，求 在区间 上的定积分解析 (1)如图，考点四：利用定积分表示平面图形的面积1、利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积(1)y0， y， x2；(2) y x2， x y2.解析 (1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为 S，则S(0)d xd x(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，S A1 A2， A1由 y， y， x1 围成；A2由 y， y x2， x1 和 x4 围成 A1()d x，A2( x2)d x， S2d x( x2)d x.2、画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积(1)y|sin x|， y0， x2， x5.(2)ylog x， y0， x， x3.解析 (1)曲线所围成的平面区域如图所示设此面积为 S，则 S|sin x|dx或 Ssin xdx(sin x)dxsin xdxsin xdx.
