1、选修 22第 1 章 导数及其应用11 变化率与导数11.1 变化率问题考点一：求函数的平均变化率1、求 y2x 21 在 x0到 x0x 之间的平均变化率解析 当自变量从 x0变到 x0 x 时，函数的平均变化率为14 x02 x.已知函数 f(x)x 22x，求 f(x)从 a 到 b 的平均变化率(1)a1，b2；(2)a3，b3.1；(3)a2，b1.5.解析 (1)a1，b2 时，f(1)1 2213，f(2)2 2228，f(x)从 1 到 2 的平均变化率为5.(2)a3，b3.1 时，f(3)3 22315，f(3.1)3.1 223.115.81，f(x)从 3 到 3.1
2、的平均变化率为8.1.(3)a2， b1.5 时， f(2)(2) 22(2)0， f(1.5)1.5 221.55.25， f(x)从2 到 1.5 的平均变化率为.2、求函数 y x3在 x0到 x0 x 之间的平均变化率，并计算当x01， x时平均变化率的值解析 当自变量从 x0变化到 x0 x 时，函数的平均变化率为03 x3 x0 x( x)2当 x01， x时平均变化率的值为31231 2 .3、过曲线 f(x)x 3上两点 P(1,1)和 Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当 x0.1 时割线的斜率解析 yf(1x)f(1)(1x) 31(x) 33(x) 23x，割线 PQ 的
3、斜率 k( x) 23 x3.设 x0.1 时割线的斜率为 k1，则 k10.1 230.133.31.考点二：平均变化率的应用1、试比较正弦函数 ysin x 在 x0 和 x附近的平均变化率哪一个大？解析 当自变量 x 从 0 变到 x 时，函数的平均变化率为k1.当自变量 x 从变到 x 时，函数的平均变化率为k22.由于是在 x0 和 x的附近的平均变化率，可知 x 较小，但 x 既可为正，又可为负当 x0 时， k10， k20，此时有 k1 k2；当 x0 时， k1 k2. x0， x，sin.从而有 sin1，则 sin10，又 x0， k1 k20，即 k1 k2.2、已知函数 y f(x)3 x22，求函数在 x01, 2,3 附近 x取时的平均变化率 k1， k2， k3，并比较其大小解析 函数 y f(x)3 x22 在区间 x0， x0 x上的平均变化率为26 x03 x.函数在 x0， x0 x上的平均变化率为 6x03 x.当 x01， x时，函数在1,1.5上的平均变化率为k16130.57.5；当 x02， x时，函数在2,2.5上的平均变化率k26230.513.5；当 x03， x时，函数在3,3. 5上的平均变化率为k36330.519.5，所以 k1k2k3.
