1、高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 12 第二学期 第十一周 课程内容 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.2.1 排列2014-2015学年 高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 12 1、准备知识要点： 计数与现实生活的联系 2、本阶段知识要点： 重点：归纳得出两个计数原理，能运用它们解决简单的实际问题；正确区分分类与分 步；排列的概念与排列数公式。 难点：正确理解“完成一件事情”的含义，正确区分“分类”与“分步”；对排列问题中“顺 序”的理解。 本周我们开始学
2、习选修 2-3 中第一章计数原理。计数问题是数学的重要研究对象 之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本，最重要的方法， 也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。在本章中，我们将学 习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解 决简单的计数问题。 （一）分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1分类计数原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方 法，在第二类办法中有 m2 种不同方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么 完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法. 2分
3、步计数原理：做一件事，完成它需要分 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同方法，做第 二步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1m2mn 种不同的方法.高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 12 说明（1）两个原理共同点是：它们都是讨论做一件事，确定完成这件事所有不同方法的 种数。不同点是：分类计数原理是指这些方法可以分类，各种方法独立互斥，即任何一类 办法中任何一个方法，都能完成这件事。分步计数原理是指这些方法需要分步，各个步骤 顺次相依，即每一个步骤任取一种方法连续做完这几步，才能完成
4、这件事。因此区分应用 分类计数原理还是分步计数原理的关键，在于分清完成这件事的方法可以“分类”，还是需 要“分步”。 （2）一些简单的问题单独应用分类计数原理或分步计数原理就可以解决，较复杂的 问题往往需要综合运用这两个原理才能解决，一般先将完成一件事进行分类，然后再将各 类办法进行分步。 （二）排列与排列数公式 1排列：从 n 个不同的元素中，任取 m (mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 （1）排列定义的要点是“按照一定的顺序排成一列”，“一定的顺序”是指每次取出的元素 与它所排的“位置”有关。例如： 从 2，3，5 这三个数中，
5、每次取出两个不同的数相除，有多少个不同的商？ 从 2，3，5 这三个数中，每次取出两个不同的数相乘，有多少个不同的积？ 容易看出，问题 每次取出的两个数，与被除数和除数这两个“位置”有关，也就是必 须考虑“顺序”，而问题 就不必考虑“顺序”，这是因为乘法满足交换律，所以问题 是 排列问题，而问题 就不属排列问题。高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 12 （2）从排列的定义可以知道，元素完全不同，或元素部分不同，或元素完全相同而顺序 不同的排列，都不是同一排列。因此，两个排列相同，不仅这两个排列的元素完全相同， 而且排列的顺序完全相同。
6、 2排列数：从 n 个不同的元素中取出 m (mn) 个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 m n A 表示。 注：“排列”与“排列数”的区别：前者是若干个元素按顺序排成一列；后者是一个数。 3排列数公式：n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数是 m n A = n (n1) (n2) (nm+1) 或 )! ( ! m n n A m n - = 这里 n, mN + 且 mn n! = n (n1) (n2) 321 特别地，当 m=n 时，n 个不同元素的全排列数是 n n A =n! 并且规定 o n A =0!=1 题型一：有关分类加法
7、计数原理、分步乘法计数原理问题 例 1某班级有三好生 9 人，其中男生 5 人，女生 4 人. （1）从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？ （2）从中任选男、女三好生各一人参加座谈会，有多少种不同选法？ 解：（1）从三好生中任选一人领奖，有两类办法：一类是从 5 名男生中任选一人，有 5 种方法；另一类是从 4 名女生中任选一人，有 4 种方法. 根据分类计数原理，得到不同的 选法的种数是 N=m1+m2=5+4=9 答：从三好生中任选一人领奖有 9 种不同的选法.高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 12 另解：9 人中任选 1
8、人共 9 种选法。 （2）从三好生中任选男女各一人参加座谈会，可以分成两个步骤完成： 第一步选一名男生，有 5 种方法；第二步选一名女生，有 4 种方法。 根据分步计数原理，得到不同的选法的种数是 N=m1m2=54=20 答：任选男女生各一人的不同选法是 20 种。 例 2有不同的中文书 11 本，不同的英文书 8 本，不同的日文书 5 本，从中取出不是同 一国文字的书 2 本，有多少种不同的取法？ 解：从这些书中取出不是同一国文字的书 2 本有三类办法：第一类办法是中文书、英文 书各取一本；第二类办法是中、日文书各取一本，第三类办法是英、日文书各取一本.每一 类办法又可以分成两个步骤完成，
9、即依次取出不是同一国文字的书各一本，根据分类计数 原理和分步计数原理，得到不同的取法的种数是 11811585183 答：从这些书中取出不是同一国文字的书 2 本，有 183 种不同的取法. 例 3设集合 A 5 4 3 2 1 a a a a a ， ， ， ， ,B1，2，3，4，5，6，则集合 A 到集合 B 有多少个映射？ 分析：分 5 步，第一步在 A 中任取一个元素，在 B 中有 6 个元素与之对应；第二步在 A 中剩余 4 个元素中任取一个，在 B 中也有 6 个元素与之对应；第五步在 A 中取出最后 一个元素,在 B 中也有 6 个元素与之对应.属分“步”问题，所以用乘法原理.
10、 解：N6 5 7776（个）高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 12 题型二：有关排列数的计算和证明 例 4计算 ! 5 ! 6 6 6 5 7 + - A A 解： 原式= ! 5 ! 6 ! 6 ! 2 ! 7 + - 7 15 ! 5 ! 5 6 ! 5 6 ! 5 21 = + - = 例 5求证 m n m n A m n n A 1 - - = 证明： ! ) 1 ( )! 1 ( 1 m n n m n n A m n n m n - - - - = - - m n m n m n A m n n A A m n n
11、m n m n n n 1 )! ( ! )! 1 )( ( )! 1 ( - - = = - = - - - - = 例 6解方程 2 1 + x A +6 1 x A =2 3 x A 解： 3(x+1)x+6x=2x(x1)(x2) x0 两边同除以 x. 整理得 2x 2 9x 解之得 x1=5 x2=- 2 1 （不合题意，舍去） 原方程的解是 x=5高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 12 题型三：排列应用题 例 7 用，这六个数字，可以组成多少个没有重复数字 的（） 五位数？ （） 六位偶数？ （） 能被 25 整除的四
12、位数？ （） 大于 201345 的自然数？ 解：（1）万位上的数字不能为 0，属于有限制条件的排列问题，可用优先安排受限制 的特殊元素或特殊位置的方法，即优先安排万位上的数字. 万位上的数字只能从除 0 以外 的 1 到 5 这五个数字中任选一个，有 1 5 A 种；千位、百位、十位和个位上的数字，可以从 余下的五个数字中任选四个，有 4 5 A 种，根据分步计数原理，所求的五位数的个数是 1 5 A 4 5 A = 55432=600 本小题也可用排除不合条件的方法.先不考虑限制条件，把所有的排列数计算出来，再 从排列总数中减去不合条件的排列数，间接得到符合条件的排列数. 从 0 到 5
13、这六个数字中任取五个数字的排列数为 5 6 A , 其中以 0 为排头的排列数为 4 5 A . 因此所求的五位数的个数是 5 6 A 4 5 A = 654325432=600 答：可以组成 600 个无重复数字的五位数. （2）优先安排末位上的数字，先分类，再分步计算： 符合条件的六位偶数可以分为两类：个位数字是 0 的六位偶数有 5 5 A 个；个位数字是 2 或 4 的六位偶数各有 1 4 A 4 4 A 个，根据分类计数原理，所求的六位偶数的个数是高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 12 5 5 A +2 1 4 A 4 4
14、 A = 120+296 =312 答：可以组成 312 个无重复数字的六位偶数. （3）优先安排末两位上的数字，先分类，再分步计算： 符合条件的四位数可以分成两类：十位数字是 5，个位数字是 0 的四位数有 2 4 A 个；十位数字是 2，个位数字是 5 的四位数有 1 3 A 1 3 A 个，因此所求的四位数个数是 2 4 A + 1 3 A 1 3 A =12+9=21 答：可以组成 21 个无重复数字的能被 25 整除的四位数. （4）优先安排首位数字，注意“大于”这个条件. 符合条件的自然数，就是首位数字是 2，3，4 或 5 的六位数，其中 201345 这个数必须 除外，因此所求
15、的自然数的个数是 1 4 A 5 5 A 1=4801=479 本题也可用排除不合条件的方法，间接计算： 从 0 到 5 这六个数字的全排列数为 6 6 A ，其中以 0 或 1 为排头（比 201345 小）的排 列数都是 5 5 A ，再减去 201345 这一个，因此所求的自然数的个数是 6 6 A 2 5 5 A 1=72021201=479 答：可以组成 479 个没有重复数字的大于 201345 的自然数. 例 88 人并排站成一排 （1）其中甲、乙、丙三人必须排在一起，有多少种排法 （2）其中甲、乙、丙三人任何两人均不得相邻，有多少种排法？高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十
16、一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 12 解：（1）优先安排甲、乙、丙，分步计算： 甲、乙、丙三人必须排在一起，可以把这三人看成一个整体，作为一个元素看待，这样 就变成 6 个元素的全排列，共有 6 6 A 种，对于这 6 6 A 种的每一个排列，还可让甲、乙、丙三 人作全排列，有 3 3 A 种，因此所求排法是 6 6 A 3 3 A =4320 （种） （2）对于某些元素不能相邻这类问题，常可用插入法求解首先，将除甲、乙、丙的五人 进行全排列，共有 5 5 A 种排法，再将甲、乙、丙三人“插入”这五人间的 4 个间隔位置，以及 两端的 2 个空位置上排列： ，这样就能
17、保证甲、乙、丙三人任何两人均不相邻，这种 排法的种数相当于从 6 个位置中任取 3 个的排列数，有 3 6 A 种，从而所求的排法是 3 6 A 5 5 A =14400（种） 例 9用 1，2，3，4，5 五个数字组成没有重复数字的五位数，按照从小到大的顺序排 列，构成一个数列. （1）这个数列共有多少项？它们的和是多少？ （2）43251 是这个数列的第几项？ 解：（1） 这个数列共有 5 5 A =120 项 求它们的和，实际上只要求出所有这些五位数的各数位上数字的和. 个位数字是 1 的五 位数有 4 4 A 个，同理，个位数字是 2，3，4，5 的五位数分别都是 4 4 A 个，所以
18、个位上数字 的和是 4 4 A (1+2+3+4+5).同理，十位、百位、千位、万位上数字之和分别都是 4 4 A （1+2+3+4+5）.因此所有这些五位数的总和是 4 4 A （1+2+3+4+5） （1+10+100+1000+10000）即 3999960.高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 12 （2）求 43251 是这个数列的第几项，实际上只要求出比 43251 小的五位数有多少个， 逐次安排万位、千位、百位、十位上的数字，分四类如下： 万位上的数字是 1，2，3 的数有 1 3 A 4 4 A 个， 万位上的数字是
19、4，千位上数字是 1，2 的数有 1 2 A 3 3 A 个； 万位上数字是 4，千位上的数字是 3，百位上数字是 1 的数有 2 2 A 个； 万位上数字是 4，千位上数字是 3，百位上数字是 2，十位上数字是 1 的数只有 1 个， 即 43215. 因此比 43251 小的五位数有 1 3 A 4 4 A + 1 2 A 3 3 A + 2 2 A +1=87（个） 所以 43251 是第 88 项. 本小题也可考察比 43251 大的五位数，用排除不合条件的方法求解： 万位上数字是 5 的数有 4 4 A 个； 万位上数字是 4，千位上数字是 5 的数有 3 3 A 个 万位上数字是 4，千位上数字是 3，百位上数字是 5 的数有 2 2 A 个. 因此不大于 43251 的五位数有 120- 4 4 A - 3 3 A - 2 2 A = 88(个) 所以 43251 是第 88 项. 小结： （1）解排列应用题，一般有“直接”与“间接”两种思路.在分析中，可以灵活地优先安排特 殊元素、特殊位置，或排除不合条件的情况。遇到某些元素必须相邻的问题，常用“捆绑”
