1、高二数学（理） 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 17 第二学期 第五周 课程内容 2.1 合情推理和演绎推理2014-2015学年 高二数学（理） 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 17 1、准备知识要点： 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，体会演绎推理的重要 性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。 2、本阶段知识要点： （1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理。 （2）了解演绎推理的含义，能利用归纳“三段论”进行简单的推理。 （3）通过具体实例，
2、了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 211 合情推理 一、推理的定义及分类 1定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程叫做推理，推 理是人们思维活动的过程。 例如：天空乌云密布，燕子低飞天要下雨了 某同学没来上课他一定生病了 谚语：八月十五云遮月，正月十五雪打灯高二数学（理） 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 17 2结构：前提结论： 推理也可看作是连接词将前提和结论连结起来的一个逻辑连接，常用的连接词有“因 为所以”，“如果那么”等形式。 例：说出下列推理的前提和结论（先改写成“如果那么”，的形式再判断） （1）对顶角相等
3、（2）两直线平行，同位角相等 （3）ab，bc，则 ac （4）ab，bc，则 ac 3分类： 演绎推理 类比推理 归纳推理 合情推理 推理 二、归纳推理 引例：哥德巴赫猜想 10=3+7 20=3+17 30=13+17 偶数=奇质数+奇质数 第一个等于两个奇质数之和的偶数是 6 6=3+3 8=3+5 10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 1000=29+971 1002=139+863 任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和 1定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有之 些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结合的推理，叫做归纳推理
4、（简称为归纳） 2特点：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，如：“三角形内角和 180 0 ”、“一切金属都能导电” 3一般步骤： （1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，即发现某些相同性质。高二数学（理） 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 17 （2）提出带有规律性的结论，即猜想，即从已知的相同性质中推出一个明确表述的 一般性命题，在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般 性结论也就越可靠。 （3）检验猜想。 例题：（1）1，5，9，13，17，（21） d=4 （2） 16 81 , 8 27 ,4 9 ,
5、2 3 , 1 ,3 2 ,2 3 ) 16 1 5 ( ,8 3 3 ,4 1 2 ,2 1 1 , 1 ,3 2 = q （3） ) 44 13 ( , 32 11 , 22 9 ,2 1 ,8 5 ,4 3 （4）32，31，16，26，（8），（21），4，16，2，11 “” q= 2 1 “ ”d=-5 解：（3） 2 32 11 , 22 9 , 14 7 ,8 5 ,4 3 = d 奇数 4 6 8 10 12 观察时不可把眼光停留在某一点上固定不变，而要根据问题特点不断调整自己的观察角 度，以利于观察出有一定隐蔽性的内在规律。 三、类比推理： 引入：鲁班是受到什么启发发明锯的
6、？ 他是根据两个对象在功能上类似，因此猜想它们在形状上也类似，从而发明了齿形的 工具锯。 问题 1：由等式的性质猜想不等式的一些性质 a=b a+c=b+c ab a+cb+c a=b ac=bc 猜想 ab acbc a=b a 2 =b 2 ab a 2 b 2 问题 2：根据圆的性质类比出球的相关性质 44高二数学（理） 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 17 先找几何的基本元素的对应关系 点线面体 找出圆和球的元素的对应关系 弦 截面积 直径 大圆 圆 切线 切面 球 周长 表面积 面积 体积 圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦 球心与不过
7、球心的截面（圆面）的圆心的连 线垂直于截面 与圆心距离不相等的两弦不相等，距圆心较 近的弦较长 与球心距离不相等的两截面面积不相等，距 球心较近的面积较大 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必过球心 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 经过球心且垂直于切面的直线必过切点 以点 P（x0，y0）为圆心，r 为半径的圆的 方程为(x-x0) 2 +(y-y0) 2 =r 2 以点 P(x0，y0，z0)为球心，r 为半径的球的 方程为(x-x0) 2 +(y-y0) 2 +(z-z0) 2 =r 2 问题 3：举一些类比推理的例子： 物理中计算位移的公式 s=vt 类比
8、 计算功的公式 W=FS 指数函数的图象和性质对数函数的图象和性质 等差数列的性质等比数列的性质 an=a1+(n-1)d an=a1q n-1 an-1+an+1=2an an-1an+1=an 2 若 m+n=p+q 则 若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq aman=apaq 刚才运用了类比推理的思维方式，思考：哪些对象之间可以进行类比？类比的结论是 怎样得到的？高二数学（理） 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 17 1定义：由两类对象在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相 同，这样的推理称为类比推理（简称类比） 2特
9、点；特殊特殊 运用类比推理解决问题的关键是分析两类类比对象之间的本质特征，根据它们的相同 或相似之处猜测类比结论。 例 1 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。 解： 二维 三维 直角三角形 3 个面两两垂直的四面体 C=90 0 PDF=PDE=EDF=90 0 3 条边的长度 a，b，c 4 个面的面积 S1，S2，S3，S 2 条直角边 a，b 和斜边 c 3 个直角面 S1，S2，S3 和 1 个斜面 S 猜想：S 2 = 2 3 2 2 2 1 S S S + + 练习：（1）已知正三角形的边长为 a，求它的内切圆的半径 r （2）已知正四面体的棱长为 a，
10、求它的内切球的半径 r 解：分割成 3 个小，采用等面积法求 r 分割成 4 个小三棱锥，采用等体积法求 r 说明：前面都是对结论的形式进行类比，而此题是在方法上进行类比 解题方法的类比在实际中的应用更为广泛。高二数学（理） 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 17 3类比推理的一般步骤： （1）观察、比较（找出两类对象之间可以确切表述的相似特征） （2）联想、类推（用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征） （3）猜想新的结论 说明：因由已知未知，从特殊特殊的推理，结果不可靠，所以还要验证。 小结：类比推理和归纳推理都是合情推理，是根据已有的事实、
11、正确的结论、实验和 实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程它的结果不唯一，结论只 有一定程度的可靠性，有些结论，还有待于实践和理论的证明，但在数学中有不少重大发 现乃至有关解题方法是由类比推理提供线索的，数学本身赖以获得真理的主要手段就是归 纳和类比，所以它具有发现的功能，是获取新知识的工具，正如波利亚所说：“如果没有类 比推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发 现的东西，也可能无从发现。” 四、合情推理 1定义：归纳推理和类比推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联 想，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合
12、情推理，即合情推理 是指“合乎情理”的推理。 说明：数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结 合；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。 2推理过程： 从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想 说明：一般来说合情推理到获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。 212 演绎推理高二数学（理） 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 17 一、演绎推理： 在日常生活和数学学习中，我们经常以某些一般的判断为前提，得出一些个别的，具 体的判断，例如： （1）所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电
13、。 （2）太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王 星以椭圆形轨道绕太阳运行。 （3）一切奇数都不能被 2 整除，(2 100 +1)是奇数，所以(2 100 +1)不能被 2 整除。 （4）三角函数都是周期函数，tan是三角函数，因此 tan是周期函数。 （5）两直线平行，同旁内角互补，如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，那么 A+B=180 0 . 上面的推理都是从一种一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种 推理称为演绎推理。简而言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 例 1 若不等式 ax 2 +2ax+2-a0 且=(2a) 2 -4a(2
14、-a)0，解得 0a1. 综上可知，实数 a 的取值范围是 0a1. 二、三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：高二数学（理） 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 17 （1）大前提已知的一般原理。 （2）小前提所研究的特殊情况。 （3）结论根据一般原理，对特殊情况做出判断 在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定也是正确的，如果大前提是 错误的，所得的结论也是错误的，在应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提 和小前提，有时为了叙述的简洁，而大前提又是显然的，这时大前提可以省略。 合情推理与演绎推理的主要区别：归纳推理和类
15、比推理都是常用的合情推理，从推理 形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，而演 绎推理是由一般到特珠的推理，从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有 待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真 伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化。合情推理和演绎推理分别在这两 个环节中扮演着重要角色。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证 明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会
16、猜想。 例 1、 ) 1 ( 1 . 4 3 1 3 2 1 2 1 1 + + + + + n n ，写出 n=1，2，3，4，5 的值，归纳并猜想出 结果。高二数学（理） 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 17 解：n= 1， 2， 3， 4， 5 原式= 6 5 ,5 4 ,4 3 ,3 2 ,2 1 猜想：原式= 1 + n n 推算： ) 1 ( 1 . 4 3 1 3 2 1 2 1 1 + + + + + n n =1- 1 1 1 . 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 + - + + - + - + n n =1- 1 1 1
17、 + = + n n n 例 2、设 f(n)=n 2 +n+41 nN* 计算 f（1），f（2），f（3），f（4）f（10）的 值，同时作出归纳推理，并用 n=40 验证是否正确。 解：f(1)=1 2 +1+41=43 猜想： f(2)=2 2 +2+41=47 当 n 为任何正整数时，f(n)=n 2 +n+41 都是质数 f(3)=3 2 +3+41=53 当 n=40 时，f(40)=40 2 +40+41=4141 f(4)=4 2 +4+41=61 f(40)为合数 f(5)=5 2 +5+41=71 因此猜想的结论不正确 f(6)= 6 2 +6+41=83 f(7)=7 2 +7+41=97 f(8)=8 2 +8+41=113 f(9)=9 2 +9+41=131 f(10)=10 2 +10+41=151 例 3、 观察 2 1 （12-01）=1 解：猜想：第 n（nN*）个式子为 2 1 （23-12）=2 2 1 n(n+1)-(n-1) n=n 2 1 （34-23）=3
