1、高二数学（理）第二学期新课预习第二周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有1 / 18 第二学期 第二周课程内容1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例2014-2015学年 高二数学（理）第二学期新课预习第二周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有3 / 18 1、准备知识要点：（1）导数概念、导数的思想及其内涵。（2）通过函数图象直观地理解导数几何意义。（3）基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则2、本阶段知识要点：导数在研究函数中的应用 （1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。（2）结合
2、函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值。在生活中的优化问题举例 通过比如利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。高二数学（理）第二学期新课预习第二周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有4 / 18 1.3 导数在研究函数中的应用 （一）函数单调性与导数 一般地，函数单调性与其导数的正负关系如下：在某个区间（a，b）内，如果 f(x)0，那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0，则在（a，b）内任一点的瞬时变化率大于 0，则
3、过这一点切线斜率为正，则在（a，b）内平均变化率也为正，则 f(x)在（a，b）内为增函数。如果在（a，b）内，f(x)0 是 f(x)在（a，b）上单调增的充分不必要条件；f(x)0 不恒成立。（二）函数的极值及导数 1设函数 y=f(x)在点 x0附近有定义,（1）若对于 x0附近所有的点,都有 f(x)f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0);极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.2判别极值的方法设函数在点 x0处 f(xo)=0（1）若在 x0附近的左侧 f(x)0,右侧 f (x)0,则 y极小值=f(x0)（3）若在点
4、 x0附近的左侧和右侧均有 f (x)0,(或 f (x)0a .（1）证明：函数 ()f x 的图像关于直线1=2x 对称；（2）若0x 满足00( )=f fx x，但00()f xx ，则称0x 为函数 ()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点12,x x 试确定 a 的取值范围；44高二数学（理）第二学期新课预习第二周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有9 / 18 （3）对于（2）中的12,x x 和 a ，设 x3为函数 f（f（x）的最大值点，A（x1，f（f（x1），B（x2，f（f（x2），C（x3，0）。记ABC 的面积为 S（a），讨论 S（a）的单调性
5、.高二数学（理）第二学期新课预习第二周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有10 / 18 题型二 求函数的极值 例5 求函数 xexfx)( 的极值.解： xexfx)( 的定义域为 ),0 ,xxexfx2)21()(令 0)( xf 则21x为驻点.高二数学（理）第二学期新课预习第二周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有11 / 18 对任意 02,0),0( xexx)( xf 在21x点从正变负,efy21)21( 极大值例6 求函数 f(x)=x+2sinx 在区间 2,0 的极值.解： 2,cos21)( Txxf 令 0)( xf ,则驻点为)2,0(,34,32 xx x)32
6、,0(32)34,32(34)2,34( y + 0 0 +y 极大 极小 ,33232sin232)32( fy极大值.33434sin234)34( fy极小值说明:对可导函数求极值的步骤: 求导数);( xf 令 )( xf =0,求出 )(xf 的驻点; 考察)( xf 在驻点左右的符号,若 y 左正右负则取极大值;若左负右正则取极小值.例7 已知函数2l() nfx x x .（1）求函数 f(x)的单调区间；（2）证明：对任意的 t0，存在唯一的 s，使 ()tfs .（3）设（2）中所确定的 s 关于 t 的函数为 ()s gt ,证明：当2et 时，有2ln()15ln 2gtt.
