1、课 题:95 空间向量及其运算(二) 教学目的:了解向量与平面平行、共面向量的意义,掌握向量与平面平行的表示方法;理解共面向量定理及其推论;掌握点在已知平面内的充要条件;会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题教学重点:点在已知平面内的充要条件共线、共面定理及其应用教学难点:对点在已知平面内的充要条件的理解与运用授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:一、复习引入: 1空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量注:空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表
2、示2空间向量的运算定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下(如图);baABObaOBA; )(RP运算律:加法交换律: ab加法结合律: )()(cc数乘分配律:3平行六面体:平行四边形 ABCD 平移向量 到 的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体,并aDCBA记作:ABCD 它的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱DCBA4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ,使 .ba ba这个定理称为平面向量共线定理,要
3、注意其中对向量 的非零要求a二、讲解新课:C BAO bbbaa a CBA DDA BC1 共线向量与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于 记作 aba/和上节我们学习的空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推广一样,空间向量共线(平行)的定义也是平面向量相关知识的推广当我们说向量 、 共线(或 / )时,表示 、 的有向线段所在的直线可能是同ababab一直线,也可能是平行直线2共线向量定理及其推论:共线向量定理:空间任意两个向量 、 ( ) , / 的充要条件是存在实
4、数 ,0使 .ab推论:如果 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 的直线,那么对于任意一点 O,l a点 P 在直线 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OPa其中向量 叫做直线 的方向向量.al由于空间中任意两个向量都是共面的,所以上述定 理和推论仍然是平面向量有关定理的推广,因此它们的证明 只是需要先确定一个平面,转化为平面向量问题即可 推论证明如下: / la 对于 上任意一点 P,存在唯一的实数 t,使得 (*) tAPa又 对于空间任意一点 O,有 ,A tAOata若在 上取 ,则有 (*)lBBP又 )(OAtOPOtt1(当 时, 21t2B表达式和都叫做空间直线的向量参
5、数表示式,式是线段的中点公式事实上,表达式(*)和(*)既是表达式和的基础,也是直线参数方程的表达形式表达式和三角形法则得出的,可以据此记忆这两个公式推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定3向量与平面平行:已知平面 和向量 ,作 ,如果直线 平行aOAA于 或在 内,那么我们说向量 平行于平面 ,记作:/a通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量说明:空间任意的两向量都是共面的4共面向量定理:如果两个向量 不共线, 与向量,abp共面的充要条件是存在实数 使,ab,xypxy证明:(充分性)设向量 不共线,,与向量 共面,根据平面向量的基本,定理,一定存在实数 使,xypayb(
6、必要性)设存在实数 使取空间任意一点 M,作pxayb,则 ,于是点 P 在平面 MAB 内,,MABAPxaybp向量 /平面 MAB. 即 与向量 共面.pab推论:空间一点 位于平面 内的充分必要条件是存在有序实数对 ,使B,xyPxy或对空间任一点 ,有 OxAy或 ,(1)AzMz上面式叫做平面 的向量表达式三、讲解范例:例 1 已知 三点不共线,对平面外任一点,满足条件:,BC,1255OPABOC试判断:点 与 是否一定共面?,解:由题意: ,2 ,()()()OPABOPC ,即 ,2所以,点 与 共面,说明:在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候,首先要选择
7、恰当的充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算例 2已知 ,从平面 外一点 引向量ABCDAO,,OEkFGkHDaaOABCDHFGEApbaOPABM(1)求证:四点 共面;,EFGH(2)平面 平面 AC/解:(1)四边形 是平行四边形, ,BDACBD ,EO()()(kAkkBOFEHFH 共面;,EG(2) ,又 ,()kBAkEGkAC /,/FABC所以,平面 平面 E四、课堂练习:对空间任一点 和不共线的三点 ,问满足向量式:O,AB(其中 )的四点 是否共面?PxAyBzC1xyz,PABC解: ,(1)O ,()OyzA ,点 与点 共面APBzCP,BC五、小结
8、 :空间向量共线(平行)的定义、共线向量定理与平面向量完全相同,都是平面向量相关知识的推广向量平行于平面和直线平行于平面是不同的,要注意其共同点与不同点;共面向量定理中,条件的必要性实际上就是平面向量基本定理,该定理说的是三个向量共面的性质,它在空间中也成立;共面向量定理的推论通常用于解决四点共面问题 六、课后作业:1已知两个非零向量 不共线,如果 ,21,e21ABe, ,求证: 共面218ACe3AD,CD证明: , , ,B218C213 213215()e()e5 共面,2已知 , ,若 ,求实数 的值4,amnpbxmnyp0a/b,xy解: /b(1)82 GHFE C1B1A1D1DA BC (1)3,82,4xy .y3如图, 分别为正方体 的棱 的中点,,EFGH1AC111,BDC求证:(1) 四点共面;(2)平面 平面,DBEF/B4已知 分别是空间四边形 边,的中点,AC(1)用向量法证明: 四点共面;,EFGH(2)用向量法证明: 平面 /BD七、板书设计(略)八、课后记:ABCDFEGH高。考 试题 库