1、三维目标1理解算法案例的算法步骤和程序框图.2引导学生得出自己设计的算法程序.3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.重点难点教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.案例 1 辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数 m，n.第二步，求余数 r：计算 m 除以 n，将所得余数存放到变量 r 中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数 r 是否为 0.若余数为 0，则输出结果；否则转向第二步继
2、续循环执行.如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.案例 2 更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 九章算术是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用 2 约简；若不是，执行第二步.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数
3、（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.应用示例例 1 用辗转相除法求 288 与 123 的最大公约数例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程拓展思考（选做）：用辗转相除法或者更相减损术求三个数 324,243,135 的最大公约数.例 3 （1）用辗转相除法求 123 和 48 的最大公约数.（2）用更相减损术求 80 和
4、36 的最大公约数.点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为 0，更相减损术是到达减数和差相等.案例 3 割圆术阅读教材 28 页-30 页案例 4 秦九韶算法提出问题（1）求多项式 f(x)=4x3+3x2+2x+1 当 x=2 时的值有哪些方法？比较它们的特点 .（2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约 12021261）在他的著作数书九章中提出了下面的算法：把一个 n 次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 改写成如下形式：f(x)=anxn+an-1xn-1+a1
5、x+a0=（a nxn-1+an-1xn-2+a1）x+ a0=（a nxn-2+an-1xn-3+a2）x+a 1)x+a0=（a nx+an-1）x+a n-2）x+a 1）x+a 0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=anx+an-1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2，v3=v2x+an-3，vn=vn-1x+a0，这样，求 n 次多项式 f（x）的值就转化为求 n 个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.应用示例例 1 已知一个 5 次多项式为 f（x）=5x 5+2x4+3.5x3
6、-2.6x2+1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当 x=5 时的值.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=（(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8 ，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x=5 时的值：v0=5；v1=55+2=27;v2=275+3.5=138.5;v3=138.55-2.6=689.9;v4=689.95+1.7=3 451.2;v5=3 415.25-0.8=17 255.2;所以，当 x=5 时，多项式的值等于 17 255.2.点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法
7、语句,是一个典型的算法案例.结论：秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达 ，加法最多 n 次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少2)1(n到最多 n 次，加法最多 n 次.例 2 已知多项式函数 f(x)=2x55x 4+3x26x+7 ，求当 x=2 时的函数的值.点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为 0 的项补齐后再计算.拓展提升用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 当 x=3 时的值.小结：（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.
