1、2.1 随机变量及其概率分布教案 教学目标（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观 教学重点，难点（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布教学过程一问题情境在一块地里种下 10 棵树苗，成活的树苗棵数 X是 0，1，10 中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数 Y是 1，2，3，4，5，6 中的某一个数；新生婴儿的性别，抽查
2、的结果可能是男，也可能是女如果将男婴用 0 表示，女婴用 1 表示，那么抽查的结果 Z是 0 和 1中的某个数；上述现象有哪些共同特点？二学生活动上述现象中的 X， Y， Z，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数 X： 0，表示成活 0 棵； 1X，表示成活 1 棵；三建构数学1随机变量：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量通常用大写拉丁字母 X， Y， Z（或小写希腊字母， ， ）等表示，而用小写拉丁字母，y， （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值如
3、：上面新生婴儿的性别 是一个随机变量， 0，表示新生婴儿是男婴； 1Z，表示新生婴儿是女婴例 1 （1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用 X表示掷得正面的次数，则随机变量 X的可能取值有哪些？（2）一实验箱中装有标号为 1，2，3，3，4 的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为 Y，则随机变量 Y的可能取值有哪些？解 （1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量 X的取值可能是 1（正面向上） ，也可能是 0（反面向上） ，故随机变量 X的取值构成集合0，1（2）根据条件可知，随机变量 Y的可能值有 4 种，它的取值集合是1，2，3，4 说明：(1)
4、引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示(2) 在例 1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为1X，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为 0X(3) 在例 1（2）中，也可用 1Y， 2， 3Y， 4分别表示取到 1 号、2 号、3 号和 4 号白鼠这 4 个随机事件另一方面，在例 1（2）中，可以用 3Y这样的记号表示“取到 1 号、2 号或 3 号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了如例 1（1）中1X的概率可以表示为 1PX（ ） P抛 一 枚 硬 币
5、 ， 2正 面 向 上 ，其中P（ ）常简记为 （ ） 同理， 01（ ） =2这一结果可用表 2-1-1 来描述 X0 1P122例 1（2）中随机变量 Y所表示的随机事件发生的概率也可用表 2-1-2 来描述1 2 3 4P515515上面的两个表格分别给出了随机变量 X， Y表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律2随机变量的概率分布：一般地，假定随机变量 X有个不同的取值，它们分别是 1x， 2， nx，且()iiPXxp， 1,2n， 则称为随机变量 X的概率分布列，简称为 X的分布列也可以将用表 2-1-3 的形式来表示1x2x nxPpp p我们将表 2-1-3 称为随机变
6、量 X的概率分布表它和都叫做随机变量 X的概率分布3随机变量分布列的性质：（1） 0ip； （2） 121npp四数学运用1例题：例 2从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用 X表示“取到的白球个数” ，即 ,0X当 取 到 白 球 时 ，当 取 到 红 球 时 ， 求随机变量 X的概率分布解 由题意知 42(0)65PX， 63(1)45P，故随机变量 的概率分布列为 2()5， 31，概率分布表如下0 1P2535说明：1本题中，随机变量 X只取两个可能值 0 和 1像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中” ；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”
7、等我们把这一类概率分布称为 0-1 分布或两点分布，并记为 X0-1 分布或 两点分布此处“”表示“服从” 2求随机变量 X的分布列的步骤：（1）确定 的可能取值 (1,2)ix；（2）求出相应的概率 ()iiPxp；（3）列成表格的形式。例 3 若随机变量 的分布列为：试求出常数c29c83解：由随机变量分布列的性质可知： 2910c，解得 3c。变式：设随机变量的分布列为 1()(,234)kPa，求实数的值。 （ 410）例 4 某班有学生 45 人，其中 O型血的有 10 人， A型血的有 12 人， B型血的有 8 人，AB型血的有 15 人，现抽 1 人，其血型为随机变量 X，求
8、的分布列。解：设 O、 、 B、 A四种血型分别编号为 1，2，3，4，则 的可能取值为1，2，3，4。则10452()9CPX，1245()CPX，1845(3)，145()3。故其分布表为1 2 3 4P29415845132练习：课本第 48 页 练习第 1，2 题五回顾小结：1随机变量的概念及 0-1 分布，随机变量性质的应用；2求随机变量 X的分布列的步骤六课外作业：课本第 52 页 习题 22 第 1，3 题七板书设计课题： 一、定义、公式二、注意三、小结三、例题：例 1例 2例 3例 4四、课堂练习：1、2、八教后感第 2 课时 随机变量及其概率分布（2）教学目标（1）正确理解随
9、机变量及其概率分布列的意义；（2）掌握某些较复杂的概率分布列 教学重点，难点 求解随机变量的概率分布教学过程一问题情境1复习回顾：（1）随机变量及其概率分布的概念；（2）求概率分布的一般步骤2练习：（1）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果一袋中装有 5 只同样大小的白球，编号为 1，2，3，4，5现从该袋内随机取出 3 只球，被取出的球的最大号码数为 X；盒中有 6 支白粉笔和 8 支红粉笔，从中任意取 3 支，其中所含白粉笔的支数 X；从 4 张已编号（1 号4 号）的卡片中任意取出 2 张，被取出的卡片编号数之和 解： 可取 3，4，5 3，表示取出的
10、3 个球的编号为 1，2，3； 4，表示取出的 3 个球的编号为 1，2，4 或 1，3， 4 或 2，3，4； 5，表示取出的 3 个球的编号为1，2，5 或 1，3，5 或 1，4，5 或 2，3，5 或 2，4，5 或 3，4，5 X可取 0，1，2，3， 表示取出支白粉笔， i支红粉笔，其中 i0，1，2，3 可取 3，4，5，6，7 3 表示取出分别标有 1，2 的两张卡片；4 表示取出分别标有 1，3 的两张卡片； X5 表示取出分别标有 1，4 或 2，3 的两张卡片； 6 表示取出分别标有 2，4 的两张卡片； 7 表示取出分别标有 3，4 的两张卡片（2）袋内有 5 个白球，
11、6 个红球，从中摸出两球，记 01两 球 全 红两 球 非 全 红 求 X的分布列解：显然 X服从两点分布，2613(0)CPX，则 38()1PX所以X的分布列是: X0 1P318二数学运用1例题：例 1 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数求两颗骰子中出现的最大点数 X的概率分布，并求 X大于 2 小于 5 的概率 (25)PX解 依题意易知，掷两颗骰子出现的点数有 36 种等可能的情况：（1，1） ， （1，2） ，（1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （1，6） ， （2，1） ， （6，5） ， （6，6） 因而 X的可能取值为 1，2，3，4，5，6，详见下
12、表X的值 出现的点 情况数1 （1，1） 12 （2，2） ， （2，1） ， （1，2） 33 （3，3） ， （3，2） ， （3，1） ， （2，3） ， （1，3） 54 （4，4） ， （4，3） ， （4，2） ， （4，1） ， （3，4） ， （2，4） ， （1，4） 75（5，5） ， （5，4） ， （5，3） ， （5，2） ， （5，1） ， （4，5） ， （3，5） ，（2，5） ， （1，5）96（6，6） ， （6，5） ， （6，4） ， （6，3） ， （6，2） ， （6，1） ， （5，6） ，（4，6） ， （3，6） ， （2，6） ， （1，6）
13、11由古典概型可知 X的概率分布如表 2-1-6 所示1 2 3 4 5 6P36567931从而 (5)()()6XPX思考：在例 3 中，求两颗骰子出现最小点数 Y的概率分布分析 类似与例 1，通过列表可知： 1()3， 9(2)36P， 7()36PY，5(4)36PY， 3()6PY， 1()36PY例 2 从装有 6 个白球、4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢 2 元，而每取出一个白球输 1 元，取出黄球无输赢，以 X表示赢得的钱数，随机变量 X可以取哪些值呢？求 的分布列解析：从箱中取出两个球的情形有以下六种：2 白，1 白 1 黄，1 白 1 黑
14、，2 黄，1 黑 1 黄，2 黑当取到 2 白时，结果输 2 元，随机变量 2；当取到 1 白 1 黄时，输 1 元，随机变量 1；当取到 1 白 1 黑时，随机变量 X1；当取到 2 黄时， 0；当取到 1 黑 1 黄时， 2；当取到 2 黑时， 4则 X的可能取值为2，1，0，1，2，4 5)(6CP； )(216CP ；21； 42X ； 34)(21XP，)4(2X从而得到 的分布列如下：2 1 0 1 2 456431例 3 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 7，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一
15、人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数 （1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率解：（1）设袋中原有个白球，由题意知：27(1)1()67nCn，所以()6n，解得 3n（舍去 2） ，即袋中原有 3 个白球（2）由题意，的可能取值为 1，2，3，4，53(1)7P； ()76； 436()75P；423()65， 21(5)643所以，取球次数的分布列为：1 2 3 4 5376513（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第 1 次，第 3 次和第 5 次取球，记“甲取到白球”的事件为 A，则 ()P（ “，或 “，或 “） 因为事件 “、“、 5“两两互斥，所以 3612()1)(3)(5)735P2练习：课本第 48 页 练习第 3 题五回顾小结：1随机变量及其分布列的意义；2随机变量概率分布的求解六课外作业：课本第 52 页 习题 22 第 2，5 题七板书设计课题： 一、定义、公式二、注意点五、小结三、例题：例 1例 2例 3四、课堂练习：1、八教后感
