1、第二章 2.3一、选择题1用数学归纳法证明 1qq 2q n1 (nN *，q1)，在验证 n1 等式成立qn 2 1q 1时，等式左边的式子是 导学号 05300544( )A1 B1qC1qq 2 D1qq 2q 3答案 C解析 左边1qq 11 1 qq 2.故选 C.2用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)( nn)2 n13(2n1)(nN *)，从 nk 到nk1，左边的式子之比是 导学号 05300545( )A. B12k 1 122k 1C. D2k 1k 1 2k 3k 1答案 B解析 k 1k 2k 3k kk 1 1k 1 2k 1 k 1k 1k 2k 32kk 2
2、k 32k2k 12k 2 .故选 B.122k 13用数学归纳法证明 (n2，nN *)的过程中，由 nk 递推到1n 1 1n 2 12n1314nk1 时不等式左边 导学号 05300546( )A增加了一项12k 1B增加了两项 12k 1 12k 2C增加了 B 中两项但减少了一项1k 1D以上各种情况均不对答案 C解析 nk 时，左边 ，nk1 时，左边1k 1 1k 2 12k 1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 2增加了 ，减少了一项 .12k 1 12k 2 1k 1故选 C.4设平面内有 k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设 k 条直线的交点个数为
3、 f(k)，则 f(k1)与 f(k)的关系是 导学号 05300547( )Af(k 1)f(k)k 1Bf(k1) f(k )k 1Cf(k1) f(k )k 2Df(k 1)f(k)k答案 D解析 因为任何两条不平行，任何三条不共点，所以当增加一条直线时，则增加 k 个交点，故交点个数为 f(k)k.5某个与正整数 n 有关的命题，如果当 nk(kN *)时该命题成立，则可推得 nk1时该命题也成立，现已知 n5 时命题不成立，那么可推得 导学号 05300548( )A当 n4 时该命题不成立B当 n6 时该命题不成立C当 n4 时该命题成立D当 n6 时该命题成立答案 A解析 由命题
4、及其逆否命题的等价性知选 A.6等式 122 23 2n 2 (5n27n4) 导学号 05300549( )12An 为任何正整数都成立B仅当 n1,2,3 时成立C当 n4 时成立，n5 时不成立D仅当 n4 时不成立答案 B解析 经验证，n1,2,3 时成立， n4,5，不成立故选 B.7(2015枣庄一模)用数学归纳法证明 123n 2 ，则当 nk1 时左端n4 n22应在 nk 的基础上加上 导学号 05300550( )Ak 21B(k1) 2C.k 14 k 122D(k 2 1)(k 22)(k 23)( k1) 2答案 D解析 当 nk 时，左边123k 2.当 nk1 时
5、，左边123k 2(k 21)(k1) 2，当 nk1 时，左端应在 nk 的基础上加上(k 21)(k 22) (k 23)( k1) 2.8用数学归纳法证明“n 3(n1) 3(n2) 3(nN *)能被 9 整除” ，要利用归纳假设证nk1 时的情况，只需展开 导学号 05300551( )A(k 3)3 B(k2) 3C(k1) 3 D( k1) 3(k2) 3答案 A解析 因为从 nk 到 nk1 的过渡，增加了(k3) 3，减少了 k3，故利用归纳假设，只需将( k3) 3 展开，证明余下的项 9k227k27 能被 9 整除二、填空题9(2015辽宁师大附中高二检测) 用数学归纳
6、法证明“122 22 n1 2 n1( nN )”的过程中，第二步 nk 时等式成立，则当 nk1时应得到_ 导学号 05300552答案 122 22 k1 2 k2 k1 110用数学归纳法证明当 nN 时，122 22 32 5n1 是 31 的倍数时，当 n1时原式为_，从 kk1 时需增添的项是_ 导学号 05300553答案 122 22 32 4 2 5k2 5k1 2 5k2 2 5k3 2 5k411使不等式 2nn 21 对任意 nk 的自然数都成立的最小 k 值为_导学号 05300554答案 5解析 2 532,5 2126，对 n5 的所有自然数 n,2nn 21 都
7、成立，自己用数学归纳法证明之三、解答题12已知 f(n) 1 ，nN ，求证：nf (1)f (n1)nf(n)( n2 且12 13 1nnN ) 导学号 05300555证明 (1)当 n2 时，左边 2f (1)3，右边2f(2)3，等式成立(2)假设 nk 时，kf(1) f (k1) kf (k)当 nk1 时，k1f(1)f(k1)f(k)1f(k) kf(k)(k 1)f(k )1(k1)(f(k) )(k1) f(k1) 1k 1即 nk1 时，命题成立根据(1)和(2)，可知结论正确.一、选择题1用数学归纳法证明“(n 1)(n2)(nn) 2 n13(2n1)(nN )”，
8、则“从 k到 k1”左端需乘的代数式为 导学号 05300556( )A2k1 B2(2k1)C. D2k 1k 1 2k 3k 1答案 B解析 nk 时左式(k 1)(k 2)( k3)nk1 时左式( k2)(k3)(2 k1)(2 k2) 故“从 k 到 k1”左端需乘2(2k 1)故选 B.2k 12k 2k 12已知数列a n，a 11，a 22，a n1 2a na n1 (kN *)，用数学归纳法证明 a4n能被4 整除时，假设 a4k能被 4 整除，应证 导学号 05300557( )Aa 4k 1 能被 4 整除 Ba 4k2 能被 4 整除Ca 4k3 能被 4 整除 Da
9、 4k4 能被 4 整除答案 D解析 在数列a 4n中，相邻两项下标差为 4，所以 a4k后一项为 a4k4 .故选 D.3(2015锦州期中)在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证导学号 05300558( )An1 成立 Bn2 成立Cn3 成立 Dn4 成立答案 C解析 多边形的边数最少是 3，即三角形，第一步验证 n 等于 3.4用数学归纳法证明 3kn 3(n3，nN )，第一步应验证 导学号 05300559( )An1 Bn2Cn3 Dn4答案 C解析 n3，nN，第一步应验证 n3 时，命题成立二、填空题5用数学归纳法证明关于 n 的恒等式时，当 nk 时，表达式为1
10、427k(3 k1) k(k1) 2，则当 nk 1 时，待证表达式应为_ 导学号05300560答案 1427k(3 k1) (k1)(3k4)( k1)(k2) 26用数学归纳法证明：122 22 n1 2 n1(nN *)的过程如下：导学号 05300561当 n1 时，左边2 01，右边2 111，不等式成立；假设 nk 时，等式成立，即 122 22 k1 2 k 1.则当 nk1 时，122 22 k1 2 k 2 k1 1，1 2k 11 2所以 nk1 时等式成立由此可知对任意正整数 n，等式都成立以上证明错在何处？_.答案 没有用上归纳假设解析 由数学归纳法证明步骤易知其错误
11、所在7设 S11 2，S 21 22 21 2，S n1 22 23 2n 22 21 2.用数学归纳法证明 Sn 时，第二步从“nk 到 nk1”右边应添加的项为_n2n 12导学号 05300562答案 k 22k 12解析 S k1 Sk k 12k 1 12 k2k 12 .k 22k 12三、解答题8在数列a n中，a 1a 21，当 nN *时，满足 an2 a n1 a n，且设 bna 4n，求证：bn的各项均为 3 的倍数 导学号 05300563证明 (1)a 1a 21，故 a3a 1a 22，a 4a 3a 23.b 1a 43，当 n1 时，b 1 能被 3 整除(2
12、)假设 nk 时，即 bka 4k是 3 的倍数则 nk1 时，b k1 a 4(k1) a (4k4) a 4k3 a 4k2a 4k2 a 4k1 a 4k1 a 4k 3a4k1 2a 4k.由归纳假设，a 4k是 3 的倍数，故可知 bk1 是 3 的倍数nk1 时命题正确综合(1)、(2)可知，对于任意正整数 n，数列 bn的各项都是 3 的倍数9若不等式 对一切正整数 n 都成立，求正整数 a 的1n 1 1n 2 1n 3 13n 1 a24最大值，并证明你的结论 导学号 05300564解析 取 n1， ，11 1 11 2 131 1 2624令 ，得 a .1n 1 1n
13、2 13n 12524n1 时，结论已证假设 nk(kN )时， ，则当 nk1 时，有 1k 1 1k 2 13k 12524 1k 1 11k 1 2 13k 1 13k 2 13k 3 13k 1 1( )( ) 1k 1 1k 2 13k 1 13k 2 13k 3 13k 4 1k 1 2524 13k 2 13k 423k 1 ，13k 2 13k 4 6k 19k2 18k 8 23k 1 0.13k 2 13k 4 23k 1 ，1k 1 1 1k 1 2 13k 1 12524即 nk1 时，结论也成立由可知，对一切 nN ，都有 .1n 1 1n 2 13n 12524故 a 的最大值为 25.
