1、二次三项式的因式分解【典型例题】例 1. 分解因式 x264 321x 32y 5 ()x21分析：前四个均为二次三项式 axbc20() 或二元二次三项式AxByC22的因式分解，直接用公式进行分解。abcax12()其中 x12， 为方程 axbca20() 的两根。xyA2212()，其中 12， 为关于 x 的方程ABC0的两根。第五个用平方差公式，再用公式法分解二次三项式。解：令 xxx212643535， 则 ， ()()解法 1：令 3210x，则x12332 2()()()解法 2：31213xxx()33222()()x解法 3： 112xx()(332)()x令 2402x
2、y，解这个关于 x 的方程得：xyxy122010，4321022xy()()102102()()xyxy 541510752() x不能因式分解，在实数范围。 ()()()xx222令 x1040， ，无实根。 2在实数范围内不能分解因式。令xxx2120515， 则 ，x22152()()()()()()()()xxx21152点拨：中三种方法各有千秋，公式法，配方法，十字相乘法，注意结果写成幂的形式。二元时选其中一元为主元，另一元为已知数，即可。注意最终结果的简洁形式，中都要考虑二次三项式 axbc20() 可在实数范围内因式分解的条件是：bac240，要综合应用，并注意因式分解必须彻底
3、。例 2. 分解因式： xyxy2276分析：形如 ABCDEF的多项式，叫关于 x，y 的二元二次多项式，它的因式分解有三种方法：双十字相乘法，待定系数法，公式法。解：解法 1： xyxy2276()()3解法 2：设xyxy276()()()mnxyxmyn222比较对应项系数n1763解 得 xyxyxyy22 2()()解法 3：整理为关于 x 的二次三项式222276176()令 xyy10()，则yyy()()()4276193052 xyxy123， xyxy27623()()例 3. 黄岗百货商店服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为迎
4、接“六一” ，商场决定降价，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价 4 元，那么每天平均可多售 8 件，要想每天平均在销售这种童装上盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？分析：经济类问题应用。要切实理解减少库存是本题需要。解：设每件童装应降价 x 元，根据题意，()40210x3解得： 12，因要减少库存， x，答：每件童装应降价 20 元。例 4. 某中学的校办工厂的年产值 1998 年是 50 万元，年年增加，到 2000 年达 60.5 万元。问（1）平均每年的年产值增长率是多少？（2 ）三年总产值多少？分析：储蓄中复利计本利和与生产值增长率问题。假设
5、年利率为 x，本金 a，则 n 年后本利和为 axn()，增长率亦如此。解：（1）设每年平均增长率 x，则 1999 年产值 501()万元，2000 年产值502()x万元，由题意： 6052().x1解得： x21， （不合题意，舍去）答：平均每年增长率为 10%。（2） 50%)50)1652(.()万 元答：1998 至 2000 年这三年总产值为 165.5 万元。点拨：注意舍去不合题意的根，别忽略（2）的计算与做答。例 5. 两个连续偶数积为 288，求这两个数。分析：两个连续偶数差 2，可设 x， ()()x2或 。解：设这两个偶数分别为 x，x+2，根据题意，x()28解得：
6、1261，x8216或答：这两个连续偶数是 16，18 或18 ，16。点拨：如果两个连续奇数也可这样设，但更好的设法是：x1与 ，就有 ()xx1892， 7更简单。例 6. 一个矩形的硬纸片，它的长比宽的 2 倍少 4 厘米，在它的四个角上各剪去一个边长为 2 厘米的正方形，然后折成一个无底的小盒子，如果这个小盒的体积为 484 立方厘米，求原来矩形纸片的长和宽。分析：设原矩形宽为 x 厘米，那么长 ()x厘米，在四个角各剪去一个边长为 2 厘米的正方形折成无盖小盒，则小盒底面宽为 4厘米，长为 ()28x厘米，高为 2 厘米。解：设原矩形纸片的宽为 x 厘米，则长为 ()2x厘米，根据题
7、意列方程，得：284()x1 （负值舍去） x52426答：原矩形纸片的长为 26 厘米，宽为 15 厘米。点拨：列一元二次方程可解决体面积有关的应用题，注意舍根。例 7. 一个直角三角形，斜边 45cm，两条直角边长相差 4cm，求这个直角三角形的两条直角边的长。分析：在 Rt中，三边 a，b，c 满足 bC2290() ，这是构造方程的相等关系。解：设一条直角边长为 x cm，则另一条边长为 ()xc4。根据题意列方程 22245()()解得 x128， （不合题意，舍去）x48。答：两条直角边长分别是 8cm 和 4cm。点拨：很多几何题求边时，用方程思想解决，而相等关系多由勾股定理提供
8、，掌握本题很重要，体现了“几何问题代数化” 。例 8. 用 100cm 的金属丝，作成矩形的框子，使面积分别为（1）500cm 2；（2）625cm2；（3） 800cm2。是否办得到，求出它的长和宽（精确到 mm） 。分析：可列方程组解决面积问题。解：设矩形长为 x(cm)，宽为 y(cm)，则（1）105xy由 xy， 知 ， 为方程 z250的两根。041055242) .z xcmyz12368.()答：面积为 500cm2 时，长约是 36.2cm，宽约是 13.8cm。（2）065xy易知 x，y 是方程 z2650的两根，()z0212， ， xyz15答：面积为 625cm2
9、时，长是 25cm，宽也是 25cm，围成边长 25cm 的正方形。（3）08xyx，y 为方程 z25的两根，()04107无实根。答：面积 800cm2，周长 100cm 的矩形不存在。点拨：解题后，思考三小题：用 100cm 长的铁丝围成 500cm2 的矩形做成了；再围大点，面积 625cm2，围成了正方形；再大点，面积 800cm2，围不成。长度有限的铁丝怎能围出要多大，有多大的矩形呢！当正方形时面积达到最大值。总结扩展（1）用公式法将二次三项式 axbc2因式分解的步骤是先求出方程axbca20()的两个根，再将 xax12写 成 ()形式。（2）二次三项式 axbc2因式分解的条
10、件是：当 bac240，二次三项式axbc在实数范围内可以分解； ac240时，二次三项式 xbc2在实数范围内不可以分解。（3）联系所学知识总结出遇见二次三项式因式分解的步骤：首先考虑能否提取公因式；其次考虑能否选用十字相乘法；最后考虑公式法。（4）通过二次三项式因式分解的学习，提高分析问题、解决问题的能力；通过结论探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。（5）注意：在进行类似 2852xy分解因式时，千万不要漏掉字母 y；因式分解一定进行到不能再分解为止；分解时注意二次三项式 axbc2因式分解的条件。（
11、6） “一元二次方程的应用 ”是“一元一次方程的应用 ”的继续和发展。由于用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术法来解的。所以，通过学习大家要认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性。（7）列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，判断根是否适合题意，作出正确的答案。列出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在。（8）善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据之间的关系，正确地列方程。由此培养学生用数学的意识，渗透转化与方程的思想方法。（9）进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。
