1、第四章 多分辨分析和 正交小波变换,如前所述，小波变换可以将时域信号分解为若干子频段的时域分量之和，那么如何构造小波函数？本章将给出框架理论及多分辨率分析方法。,4.1 函数的多尺度逼近,1、若干基本概念能量有限信号：满足 的信号。函数线性空间：若,内积及其性质定义：性质：交换性分配性内积空间：满足内积定义和性质的函数线性空间。 正交：对 ,若 ，称二者正交。 向量的模：,模可以理解成向量的长度，也可看成是向量之间距离。线性无关在 中，对于有限个函数向量 ， 若 当且仅当时成立，称 线性无关。,基函数在有限维空间中，选定有限个线性无关函数作为基底向量，空间中任意函数向量都可以由这些函数（基底）
2、的线性组合来表示。将此推广到无穷维空间，则线性无关的函数族 可构成 的基底，其中任意函数均可由它们线性组合而成。因此：,正交基函数如果基函数族 中的基函数是相互正交（或标准正交）的，则称为正交基函数族（标准正交基）。 （10）正交子空间 设 和 是 的两个子空间，若,2、 函数的多尺度逼近函数（模拟信号） 可用一串不同尺度的函数序列 来逼近，这种方法称为函数的多尺度逼近。这种做法已经得到广泛的应用。最常用的做法是数据的采样分析。给定采样间隔基本单位，在不同的尺度下，有不同的采样间隔。,给定一个连续信号f(t) ，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。如下图所示，令,显然， (t
3、) 的整数位移相互之间是正交的，即,这样，由 (t) 的整数位移 (t k) 就构成了一组正交基。设空间V 0由这一组正交基所构成，这样， f(t) 在空间 V 0中的投影（记作f 0(t ) ）可表为：,f 0(t) 如上图所示，它可以看作是f(t)在 V 0中的近似。 是离散序列。,令,是由 作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然， 和, 是正交的。这一结论可证明如下：,将 作二倍的扩展后得 ，由 作整数倍位移所产生的函数组,当然也是两两正交的（对整数k ），它们也构成了一组正交基。我们称由这一组基形成的空间为 V -1 ，记信号f(t) 在 V -1中的投影为f -1 (t) ，则
4、,将 作1/2倍的压缩后得 ，由 作整数倍位移所产生的函数组,当然也是两两正交的（对整数k ），它们也构成了一组正交基。我们称由这一组基形成的空间为 ，记信号x(t) 在 中的投影为 ，则,若如此继续下去，在给定的 的基础上，我们可得到在不同尺度j 下通过作整数位移所得到一组组的正交基 ，它们所构成的空间是 ， j Z 。用这样的正交基对 作近似，就可得到f(t) 在中的投影 。 用 对 作近似， j 越大，近似的程度越好，也即分辨率越高。当j 时， 中的每一个函数都变成无穷的窄，因此，有,另一方面，若j -，那么, k j (t )中的每一个函数都变成无穷的宽，因此， 对f(t)的近似误差最
5、大.,不难发现：,低分辨率的基函数 完全可以由高一级分辨率的基函数 所决定。从空间上来讲，低分辨率的空间V-1应包含在高分辨率的空间V0 中，即：,假定基本采样间隔为 ， j尺度下的采样间隔为，在该尺度下划分的节点为 ，采样值为 ，为了逼近原函数，选定基函数为 ，这种基函数是由同一函数 经过平移放缩生成，如 ，于是可作出j尺度下 的近似函数：从上式可以看出 实际上是函数在该尺度基函数上的投影。,如何确定这些系数 ，最方便的做法是采用内插型基函数，这样 刚好是函数在样本点的值，避免另行计算这些系数。逼近的方法包括阶梯型函数逼近、梳状函数逼近、折线函数逼近、样条函数逼近等。,3、 多尺度逼近中函数
6、子空间的相互关系在多尺度逼近中，若尺度j和基函数 给定，不同的组合系数 对应着不同的 ，这些函数可归为同一类函数，均由相同的基函数描述出来，都是平方可积的，记为：为线性函数空间，且 。改变尺度j，可得到不同的线性空间 ，由 逼进 的过程，可形成如下子空间序列：称 是一个嵌套式子空间逼进序列。,4、 多尺度逼近中的正交基表示在多尺度逼近过程中，用到了的基函数序列 ，同一尺度中各基函数可以是平移正交的，也可以是平移非正交的。假设是标准正交基，则：这给近似函数的表示带来方便.,公式：,5、多尺度逼近的基本条件Riesz基按照逼近要求，有：,（平方可积）,根据 和 的一一对应关系， （平方可和),Ri
7、esz基条件,4.2 多分辨分析 （Multi-resolution Analysis）,将多尺度逼近总结如下： 1）2）3） 是Riesz基。,1986年S.Mallat和Y.Meyer在多尺度逼近的基础上提出了多分辨分析(Multi-resolution Analysis，简称MAR）.MRA是指一系列嵌套式子空间逼进序列 ，满足如下要求： 1）2）,3）4） 是Riesz基。生成了MRA，称为尺度函数或MRA的称为生成元。二者比较: 差别一: 红色显示部分； 差别二：后者强调双尺度方程。,（双尺度方程）,MRA的含义 1、 生成MRA双尺度方程明确了V0和V1之间的传递关系，现在推导 和
8、 之间的传递关系。 2、MRA确定了 的子空间直和分解关系,按照前面的分析，毕竟 不等于 ，也即 比 对f(t) 近似的好，但二者之间肯定有误差。这一误差是由 和 的宽度不同而产生的，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记之为,该式的含义是： f(t)在高分辨率基函数所形成的空间中的近似等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节。,设有一基本函数,细节 属于子空间 ,由基函数 张成。,同时，,（,）,推而广之,3、 MRA明确了 的结构 因为 , 可由 中的基函数线性表示：同样 ,它的基函数记为 ，也可以用中的基函数线性表示：称为小波函数。上式也表明了 的传递关系,（双尺度方程）,由于 是
9、Riesz基， ， 是 的Riesz 基。 仿照 基的表述形式，有：此式反映了 和 的传递关系，与 和 的传递关系同形。,为线性子空间 ，它的基函数为 ，这样 中的函数 可表示为： 称为小波基， 称为小波分量， 称为小波子空间。 4、MRA明确了 的级数表示形式从上面的分析可以看出， ，且 之间没有非零的公共元素，因此，任意 可以分解为各个子空间分量 的直和。,实际上，已经看出了两条途径，一条为基于子空间序列 逼近途径 ；一条是基于正交子空间序列 的系列分量 。 5、MRA能将频带分成子频带的直和。子空间的 可以看成是有限频宽信号，从 看出，其频率范围是由 决定的（实际上是指标j决定，k只起平
10、移作用，不影响频率范围）。 为频宽与 相同低通滤波函数。,空间的 的频宽只有 的一半，（ 的频窗中心为： ,频窗半径为：再由 可知， ， 分为了两部分：一部分是一半频宽的低频部分，由 表示；另一部分是关于 的相对高频部分，由 表现，为带通函数。,),总之，MRA所确定的小波子空间分解关系 表明，任何一个信号 的频率被分隔为若干互不重叠的子频带的直和，换句话说， 在MRA框架下分解为若干表示子频带的分量 的直和， 的任何局部位置的不同频带分量将分别表现在不同的小波子空间中，具有频域局部化能力。,6、MRA所确定的数字滤波器以上二式反映了 到 ， 到 之间的传递关系；,以上二式反映了 到 ， 到
11、之间的传递关系；,再对前面二式进行频域处理：,简化之后可写成：,上式表明： 所代表的 的有限频率范围，在 的作用下被压缩一半，成为 ， 代表的是 的有限频率范围，结合前面的子频带含义，可知 反映的是低频部分， 起了低通滤波作用，相应的 为低通数字滤波器；同理, 在 的作用下 被压缩一半，成为 代表的是 的有限频率范围，结合前面的子频带含义，可知 反映的是高频部分，因此， 起了高通滤波作用，相应的 为高通滤波器。,7、MRA是构造小波的统一框架从MRA的定义可知，只要给定尺度函数 和双尺度方程 ，则 : 的双尺度关系是存在的，从而在,的描述下，MRA确定了小波子空间的直和分解关系和函数的小波分解
12、形式：原则上讲，只要给定 和 满足MRA的要求，只要求出 并满足下述下列条件：小波函数就是存在且能构造出来。,4.3正交小波级数和正交小波变换,一、正交小波级数如果尺度函数（生成元） 是平移正交的，分解的小波子空间具有什么性质？ 定理 设 生成MRA，并为尺度函数， 为小波函数。双尺度方程,（第八章给出了来源）,设 是标准正交的，则有： （1） 的基函数 关于平移指标k是标准正 交的；（2） 的基函数 关于尺度指标j和平移指 标k是标准正交的；（3） ;（4） 是 的标准正交基，f(t)可展开成正交小波级数：,证明：如果基函数平移标准正交，则表明：,同理，,标准正交等价为：,（1）证明 的基函
13、数 关于平移指标k是标准正交的。因此 是平移正交的；,(2) 的基函数 关于尺度指标j和平移指标k 是标准正交的； 首先证明 关于平移指标k是标准正交的。根 据(1)的结论只要证明 是平移正交的即可。当 时， 无公共非零元素，二者正交，因 此关于指标j是标准正交的。,二、正交小波变换上面图表反映了两个事实。上面一条线为函数的多 尺度逼近，由 表现 的“ 概貌”，其时域表现为。,由于 的正交性，展开系数为 。随着j 尺度的增大， 无论是在时域还是频域越来越接近。下面一条线反应的是多分辨分解。 表现 的 “细节”，其时域表现为 ，由于 的正交性，展 开系数为 。,4.4 离散小波分解所表现的局部时
14、频分析方法,第三章的小波变换具有局部时频分析的特点，时频窗具有自适应能力，由MRA确定的离散小波分解有同样的效果。MRA确定的离散小波分解关系为：是由 经平移缩放而成，都具有时频局部化能力，具有带通性质。如果， 是标准正交的，则 表现出小波变换的形式。,如果， 不是标准正交的，则 ， 同样将信号f限制在 所决定的子频带内。由MRA所确定的离散小波分解把 分解为若干子频带分量 ，通过对 的分析来达到局部时频分析的目的。对于不同的尺度j，这些子频带相互不重叠。信号被分解为若干个细节，局部信号的低频细节或高频细节都将在不同的小波分量 中得到表现 。这个局部信号的频域特征将综合地、然而又是细致地表现在各个子频带中。这个局部信号的时域特征将综合地、然而又是细致地表现在各个小波分量中。,
