1、2.5 圆锥曲线的共同性质1.了解圆锥曲线的共同性质.(重点)2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题.(难点)基础初探教材整理 圆锥曲线的共同性质阅读教材 P53至思考以上部分，完成下列问题 .1.圆锥曲线的共同性质：圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离之比是一个常数 e.这个常数 e 叫做圆锥曲线的离心率，定点 F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线.2.圆锥曲线离心率的范围：(1)椭圆的离心率满足 0e 1，(2)双曲线的离心率满足 e1，(3)抛物线的离心率满足 e1.3.椭圆和双曲线的准线方程：根据图形的对称性可知
2、，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 x .a2c1.判断正误：(1)到定点 F 与定直线 l 的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.( )(2)离心率 e1 时不表示圆锥曲线.( )(3)椭圆的准线为 x (焦点在 x 轴上)，双曲线的准线为 x (焦点在 xa2c c2a轴上).【解析】 (1).定点 F 不在定直线 l 上时才是圆锥曲线.(2).当 e1 时表示抛物线是圆锥曲线.(3).双曲线的准线也是 x .a2c【答案】 (1) (2) (3)2.离心率为 ，准线为 x 4 的椭圆方程为_.12【解析】 由题意知 a2，c1，b 2
3、3，椭圆方程为 1.x24 y23【答案】 1x24 y23质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型求焦点坐标及准线方程求下列曲线的焦点坐标和准线方程：(1)x2y 22；(2)4y29x 236；(3)x24y0；(4)3x23y 22.【导学号：24830053】【精彩点拨】 把方程化为标准形式后，确定焦点的位置、利用公式求解.【自主解答】 (1)化方程为标准形式： 1.x22 y22焦点在 x 轴上， a22，b 22，c 24，c2.焦点为(2,0)，准线方程为 x 1.22(2)化方程为标准
4、形式： 1.y29 x24焦点在 y 轴上， a29，b 24，c .5焦点坐标为(0， )，准线方程为 y .595 955(3)由方程 x24y 知，曲线为抛物线，p2，开口向下，焦点为(0，1)，准线为 y1.(4)化方程为标准形式 1，a 2 ，b 2 ，c ，故焦点y223x223 23 23 23 23 233为 .(0，233)准线方程为 y .a2c23233 331.已知圆锥曲线方程求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值 a，b，c 或p，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程.2.注意：椭圆、双曲线有
5、两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待.再练一题1.求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程：(1)3x24y 212；(2)2x 2y 24.【解】 (1)化方程为标准形式： 1.x24 y23焦点在 x 轴上， a24，b 23，c 21，c1.焦点坐标为(1,0)，准线方程为 x 4.a2c(2)化方程为标准形式： 1.x22 y24焦点在 x 轴上， a22，b 24，c 26，c .6焦点坐标为( ，0)，准线方程为 x .6a2c 26 63利用圆锥曲线的定义求距离双曲线 1 上有一点 P，它到右准线的距离为 ，求x29 y216 115它到左焦点的距离.【精彩点拨】 首先判定点 P
6、 在双曲线的左支还是右支上，然后利用性质把到准线的距离转化为到焦点的距离求解.【自主解答】 双曲线 1 的左准线和右准线分别为 x 和x29 y216 95x ，若点 P 在双曲线的左支上，则点 P 到右准线的最小距离为 (3)95 95 ，故点 P 不可能在左支上，而在右支上，所以点 P 到右焦点的距离为245 115e ，再根据双曲线的定义知 PF1PF 26，即 PF16PF 26 .115 113 113 293即点 P 到左焦点的距离为 .293解决这类圆锥曲线上点到焦点和准线的距离问题的一般思路有两种：(1)先利用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的
7、圆锥曲线定义进行曲线上点到两不同焦点距离之间的转化来解决；(2)把思路(1) 的两步过程交换先后顺序来解决.再练一题2.椭圆 1 上有一点 P，它到椭圆的左准线的距离为 ，求点 P 到椭x225 y216 283圆的右焦点的距离.【导学号：24830054】【解】 椭圆 1 中，a 225，b 216，则 a5，c3，故离心率x225 y216为 e .35由圆锥曲线的性质得点 P 到椭圆的左焦点的距离为 e ，再根据椭圆283 285的定义得，P 到右焦点的距离为 2a 10 .285 285 225探究共研型利用圆锥曲线的定义求最值探究 1 根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一
8、点 P 到其焦点 F的距离 PF，与点 P 到对应准线的距离 d 有什么关系？【提示】 e ，即 PFde(e 为椭圆或双曲线的离心率).PFd探究 2 设椭圆 1 内一点 A(1,1)，P 为椭圆上一点，过 P 作椭圆的x24 y23准线 x4 的垂线，垂足为 D，则 PAPD 的最小值是什么？【提示】 过 A 作直线 x4 的垂线交椭圆于 P，垂足为 D，则 PAPD 最小，最小值为 AD413.探究 3 设椭圆 1 外一点 M(1,3)，F 为其右焦点，P 为椭圆上一点，x24 y23P 到椭圆的准线 x4 的距离为 PD，则 PA PD 的最小值是什么？12【提示】 易知椭圆的离心率是
9、 e ，由 ，得 PF PD，故12 PFPD 12 12PA PDPA PFAF3.即 PA PD 的最小值是 3.12 12已知椭圆 1 内有一点 M(1,2)，F 是椭圆在 y 轴正半x28 y29轴上的一个焦点，在椭圆上求一点 P，使得 MP3PF 的值最小.【精彩点拨】 因为椭圆离心率为 ， (d 为 P 到相应准线的距离)，13 PFd 133PFd，将 MP3PF 转化为 MPd.【自主解答】 设 P 点坐标为(x 0，y 0)，P 到 F 对应准线的距离为 d，由方程知 a29，a3，b 28，c 21，e ，13 ，3PF d，MP 3PFMPd.PFd 13当 MP 与准线
10、 l 垂直时 MPd 最小.此时 P 点的横坐标为 x01，将 x01 代入椭圆方程 1，得 y0x208 y209 34.14P 点坐标为 ，最小距离为 2927.即 MP3PF 的最小(1，3414) a2c值为 7.求距离和的最小值的关键在于把折线变成直线，此过程需借助于圆锥曲线的统一定义进行等价转化，体现了数形结合与等价转化的数学思想.再练一题3.如图 251 所示，已知 F 是双曲线 1 的左焦点，定点 A 的坐标为x24 y212(3,1)，P 是双曲线右支上的动点，则 PFPA 的最小值为多少？12图 251【解】 由 1 知 a2，c 4，e2.设点 M 是点 P 在左准线上的
11、射x24 y212影.则 PM 是 P 到左准线 x1 的距离，则 2.PFPM所以 PFPM，所以 PFPAPMPA.12 12显然当 A，P，M 三点共线时， PFPA 的值最小，12即 PFPA 的最小值为点 A 到双曲线左准线的距离：3 3 4.故12 a2c 44PFPA 的最小值为 4.121.椭圆 1 的准线方程是 _.x23 y22【解析】 由方程可知 a23，b 22，c 21，c1，则准线方程为 x3.a2c【答案】 x 32.双曲线 y2 x24 的准线方程是 _.【解析】 把双曲线方程化为 1，a 24 ，b 24，c 28，即 c2x24 y24，故准线方程是 x .
12、2a2c 422 2【答案】 x 23.若椭圆的焦点坐标为(1,0)，准线方程是 x12，则该椭圆的方程是_.【解析】 易知椭圆的焦点在 x 轴上，且 c1，故准线方程是x a 212 ，则 b2a 2c 211，故椭圆方程是 1.a2c x212 y211【答案】 1x212 y2114.椭圆 1 上一点 P 到其焦点的距离为 2，则点 P 到对应的准线的距x24 y23离为_.【解析】 由题意知 a2，c1，e ，所以 p 到准线的距离为 2 4.12 12【答案】 45.椭圆 1 上有一点 P，它到椭圆的左准线的距离为 10，求点 P 到x2100 y236椭圆的右焦点的距离.【导学号：24830055】【解析】 椭圆 1 中，a 2100，b 236，则x2100 y236a10，c 8，故离心率为 e .a2 b245根据圆锥曲线的统一定义得，点 P 到椭圆的左焦点的距离为 10e8.再根据椭圆的定义得，点 P 到椭圆的右焦点的距离为 20812.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
