1、1长方体装箱问题的非线性规划模型现有一批立方体形状货物，要求装入一个集装箱中，装箱达到的要求为满足一定约束条件下体积的利用率最大化。为便于研究作如下假定：货物的几何中心即为其重心，货物的摆放必须与坐标轴平行（即在装箱过程中，要求立方体形状货物的宽、高、深均分别与集装箱的宽、高、深平行） ，不能斜放，也不能悬浮放置。装载约束条件为货物理论上可以放在容器的任意位置，但不能超出容器的容纳范围，也不能与其他货物交叠放置。1 一般数学模型给定 个长方体物品的集合 ，每一个成方体物品的宽度、高n1,2Jn度、深度分别是 、 、 ， 。给定一个大的长方体箱子，它的宽度是jwjhjd，深度是 ，高度无限，要求
2、将这 个长方体的小物品装入箱子中，使小长WD方体物品的宽度方向、高度方向、深度方向分别与大的长方体箱子的宽度方向、高度方向、深度方向分别平行，并使得所用的大长方体箱子的高度最小。采用的坐标系为三维笛卡尔坐标系，设坐标系以容器的宽度方向为 轴，x高度方向为 轴，深度方向为 轴，容器的左后下角为坐标原点 。yz (0,)O令 是决策变量，它的第 个分量 表示第 个小的长方3(,)nxzRi(,)iixyzi体物品的左后下角的坐标。定义集合的映射图如下： 3(,)(,),ii iiiiiiiSxyzuvwxuwyvhzwd其中 的定义域是(,)ii。0,(,)0,)ii idomSWDd令 ，则 中
3、元素的个数为 。任意(,),HijJjijH(1)2Hn两个长方体的物品装箱时不重叠的充分必要条件是2(,)(,),(,).iijjSxyzSxyzijH显然，三维带形装箱问题能转化成以下的优化模型：Model Generalminimize tsubject to (,)(,).(,)iijjSxyzSxyzijH0,iiWwiJ, iiythi, 0iizDdiJ这个数学模型是一个非光滑模型，因为它的约束条件是非正常函数。(,)(,),iijjSxyzSxyz()ijH3.2.2 光滑最优化描述长方体物品相交即在装箱过程中能够重叠当且仅当他们在三个坐标轴上的投影都能够相交。我们分别用 、
4、和 表示集合 在 轴、 轴和 轴上的投影，()XPS()Y()ZPSxyz则，(,)(,)Xiiiixyzxw，YiiiiSyh。(,)(,)ZiiiiPxyzd容易验证，(,)(,)XXii jjSzPSxyz 02ijijijwx3，(,)(,)YYiijjPSxyzPSxyz 02ijijijhy。(,)(,)ZZiijj ijijijddz由以上等价条件可将 Model General 等价的转化为以下形式：Model Absoluteminimize tsubject to max,2ijijijw,ijijijhy0,(),2ijijijddz ijH0,iixWw0,iiyth,
5、iizDd.JModel Absolute 是一非凸非光滑优化模型，因为其可行集是非凸的。由于 ，我们可以通max,0yb22()()0xayb过引进新的变量把 Model Absolute 转化为一个光滑的优化模型。引进变量 ，令 ， ，定义函数 ， (,)syzt(1)2Mn0:nnMfRR如下所示：:nnFRRn， ，0()fst12(),()Fss其中4121211 1,()()wwFsx 12121,()()hhy， ，221,(ddz 11,22nnwwn nx 11221 1,()()nnhhn ny 111 1,22()()nnddn nz ，。21(),)nFstyty令 ，
6、其中 ，()SsG0nMR，3100,nnMnnxWewySsRzDdtR其中 。则 Model Absolute 能转化为以下的光滑优化模型：(1,)nneModel NLPminimize 0()fssubject to FGsS为了得到 Model NLP 的一阶最优性条件我们引进以下记号51,21,31,2,32,1 1,1, 2,()()()0000()()000()()()n nnn nbxbxbxE bxbxbx 1,21,31,2,32,2 1,1, 2,()()() 000()()000 ()()()n nnn ncycycyE cycycy 1,21,31,2,32,3 1
7、,1, 2,()()()0000()()000()()()n nnn ndzdzdzzzE dzdzdz ，(,),ijHijQdag其中 22, ,2()()(ij ijijwhhijijij ijbxy, 2)ijijddij ijz22, ,2()()()ij ijijhwwijijij ijcyx ，,2)ijijddij ijz622, ,2()()()ij ijijdwwijijij ijdzzx ，2,ijijhhij ijy,ij22,()(ijijhhij ij 22,()()ijijddij ijz2,ijijwwij ijx ,22ijijij ij。2,2()()iji
8、jij ij ,()(ijijhhij ijy则 能表示为如下的形式：12(),()Fs， ，12131()0MEFsQ210()0nnMnIFs的 Jacobian 阵的转置为 ，为了计算 在F12()(),()FssF点的法锥 ，我们首先给出 和 的计算公式。令 s()NsSNG，0nx nSRxWew，nyy，0nz nSRzDed， ， ，,ixiWw,)iyS0,iziSd则，()()()()MxyzSSSSRRNsNNt7其中 1 ,0,()()(),(),.nixxxx iS iiSSSiiRxNNWw1 ,0,()()(),().niyyyy iSSSSiRy1 ,()()()
9、,()0,.nizz zz iS iiSSSiizNNDdR ,1,21, , ,0()()()().M ijRRnRijR ij ()0.RNt在 的法锥 是G()Fs()GNFs，012()nMR其中，01()MNFs 212222,()0,()()(),().n iniRRRR iFsssNFss 引理 1（ 在 点的法锥） 满足ss2ijijwijx， ，且 ，则 在 点的法2ijijhhijy2ijijddijz(,)H0s锥能表示成如下形式8。()()(),()GSNsFpqNFsqs证明 根据 Rockafellar 和 Wets(1998)的定理 6.14，只需证明下式成立(1
10、)()(),()0.SGspssp令 ，则 能写成12(,)()NF()()SNs或矩阵形式212)Fspsp，213210()0nSMnEIpNsQ即，1()xSEpN，12yS，13()zSEp, (2)1MRQN。 (3)21()(niipt由于 ，我们知 ，又有(3)及 ，即22)nRFs 20np()0RNt，所以得到 。1()0niip由于 ，得到 ，由(2)得到 ，因为 非奇异，我()0MRN 10MQp们得到 （假设 奇异，则至少一 ，这导致10MpQ,ij2ijijwijx9，或者 ，或者2ijijhhijy2ijijwijx2ijijddijz，这与已知条件矛盾） 。iji
11、jij ijijddijz我们证明了(1)式的正确性，再由 Rockafellar 和 Wets(1998)的定理 6.14，我们得到。()()(),()GSNsFpqNFsqs定理 1（Model NLP 的一阶最优性条件） 是 Model NLP 的局部最优点，满足 ，2ijijwijx2ijijhhijy2ijijddijz，且 ，则存在向量 满足(,)ijH0()pNFs。0()()SfsFps证明 由 Rockafellar 和 Wets(1998)的定理 6.12 知 ，由引理0()fsN1 得到结论。3.2.3 数值试验结果在 Model NLP 中，约束条件 是一简单的箱式约束
12、，它能表达成一般的sS不等式约束，所以我们可以将 Model NLP 表达成如下形式：minimize 0()fssubject to ,1,iciM()0,26isin我们用增广拉格朗日（ALM）方法解决这一约束优化问题，它是解一系列含有参数 和拉格朗日乘子 的无约束优化问题：010minimize 2101(,)()()MiiiPsfscss212612,iiiiniMi c否 则ALM 算法：步 1：给定 ， 和 ；311nMsR()26MnR(1)01,26)i Mn (1)0,i；,26i 0,:.k步 2：解 得 ；如果 ，()min,kPs1ks()1kcs()min0,()ikikcscs则停止。步 3： ，令1,6iM ()()()1(1)()2, 4max0ki ikikki icscs否 则步 4： (1)()()1,kkiiikcsiM(1)()()1ax,01,26kkiiikin；转步 2。:我们用 C+对算法进行编程，并对文献上的一些实例进行计算，实验结果表明该算法能把含有 11 个物品的小模型的装箱问题求得其最优解。
