1、本章重点、难点与考点,一、重点：传递函数、结构图变换与简化、梅逊公式,二、难点：传递函数含义及性质的理解、结构图的简化、梅逊公式的应用等,第二章 控制系统的数学模型,三、考点：1、求实际系统的微分方程、动态框图和传递函数；2、求复杂系统的传递函数；3、把方框图变换成信号流图。,21 引言,1关于数学模型, 定义：用以描述控制系统动态特性及各变量之间关系的 数学表达式。有静态模型与动态模型之分。（Page21前言）, 形式：,时域模型（t）：微分/差分/状态方程等；,复域模型（s=+j）：传递函数，结构图，信号流图；,频域模型（）：频率特性。, 特点及建模原则：（略）,2 建模方法及步骤, 方法
2、：分析法（主）和实验法；, 主要步骤：, 确定系统的输入、输出变量； 从输入端开始，依次列写各元件/环节的运动方程式（如微分方程）； 消去中间变量，并将其化为标准注形式。,注：标准形式：与输入量有关的各项放在方程右边，与输出量有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，并将方程中的系数通过系统的参数化具有一定物理意义系数的一种表达形式。,例题1：P21例题2-1,例题2：RC无源网络电路如下图所示，试以u1为输入量，u2为输出量列写该网络的微分方程式。,解： u1为输入量，u2为输出量；, 设回路电流分别为i1，i2，如图所示；,则有：,i1 R1+（i1i2）dt/C1 = u1,i2 R
3、2+ (i2dt) /C2=（i1i2）dt /C1,(i2dt) /C2 = u2, 消去中间变量i1，i2后，化为标准形式：,R1R2C1C2u2+( R1C1+ R1C2+ R2C2) u2+ u2= u1,23 非线性数学模型线性化,1 线性系统的特性：,1）能够用线性微分方程来描述。,2）不同类型的元件或系统可以具有相同形式的数学模型。这样的系统称为相似系统。,3）可应用叠加原理，即具有可叠加性和均匀性（齐次性）。,2小偏差线性化 （自学）,24 线性系统的传递函数,1. 线性定常系统微分方程的求解：,目的：寻求系统输出随时间t 变化的规律。 （求输出响应）,方法：, 经典法：微分方
4、程 - 时域解 c（t）, 拉氏变换法：微分方程 -复域解 C（s）, 计算机求解法。,例题1：右图所示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。,解: 设输入量为ur(t)，输出量为uc(t)， 写出电路微分方程,其中：T=RC, 且,故有,解得,由于Ur(s)= uo / s , 故,所以,例题2： 在下图中，已知L=1H，C=1F，R=1，uc（0）=0.1V, i(0)=0.1A, ur(t)=1V。试求电路在通电瞬间uc（t）的变化规律。 (P26例2-6),解：在教材P21例题2-1中已求得该电路的微分模型：,对上式两边求拉氏变换：,LCs2Uc（s）-s
5、uc（0）-u c（0） +RCsUc（s）-uc（0）+ Uc（s）= Ur（s）,由于 u c（0）= u c（t）t=0 =i（0）/C,将已知各条件代入后有：,（s2+s+1）Uc（s）= Ur（s）+0.1(s+2),即,通电瞬间, ur（t）=1 或 Ur（s）=Lur（t）=1/s,故,再对上式两边求反拉氏变换：,=1+1.15e-0.5tsin(0.866t-120)+ 0.2e-0.5tsin(0.866t+30),例题3：已知某系统的数学模型为,其中x（t）, y（t）分别为输入、输出量,且知x（t）=(t), y(0-)= y (0-)=0， 求y（t）的表达式.,解:
6、对微分方程两边求拉氏变换：,s2Y（s）-s y (0-)- y(0-)+2sy（s）- y (0-)+2Y（s）= X（s）,代入已知条件，注意X（s）=Lx（t）=L(t)=1,整理后得：Y（s）=1/（s2+2s+2）,故 y（t）= L-1Y（s）= L-11/（s2+2s+2）,=(1/2j) L-1 1/（s+1-j）-1/（s+1+j）,=(1/2j) e-（1-j）t- e-（1+j）t = e-tsint,拉氏变换法求解微分方程的过程：P27, 考虑初始条件，对微分方程中的各项求拉氏变换；, 求取输出量的拉氏变换式；, 再求取输出量的拉氏变换式的反拉氏变换，求解之。,2. 传
7、递函数, 定义: 在零初始条件 *下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。表示为：,* 零初始条件：指当t0时，系统输入r（t）、输出c（t） 以及它们的各界阶导数均为零，即：,r(0-)=c (0-)= r(0-)=c(0-) = r（n）(0-)=c（n）(0-)=0, 传递函数的基本性质：, 它是复变量s的有理真分式函数。具有复变函数的所有性质；, 它只与系统的自身结构和参数有关，与输入信号的形式（大小、性质）无关；, 其拉氏反变换是脉冲(t)输入下的响应函数g(t)；, 它与S平面上一定的零、极点图相对应。, 传递函数的局限性：,只适用于描述线性定常SISO系统，也只直接反
8、应系统在零初始条件下的动态特性。,25 典型环节及其传递函数,1. 典型环节的传递函数及其单位阶跃响应,2. 传递函数的求取,例题1：RC无源网络电路如下图所示，试以u1为输入量，u2为输出量,试求该网络的传递函数G(s)。,解： u1为输入量，u2为输出量；, 设回路电流分别为 i1，i2，如图所示，,则有：R1R2C1C2u2+( R1C1+ R1C2+ R2C2) u2+ u2= u1,在零初始条件下对上式求拉氏变换,得:,R1R2C1C2s2U2(s)+( R1C1+ R1C2+ R2C2) sU2(s)+ U2(s) = U1(s),例题2： 在下图中，已知L=1H，C=1F，R=1
9、。试求该网络的传递函数G(s)。,解：在教材P21例题2-1中已求得该电路的微分模型：,对上式两边求拉氏变换：,LCs2Uc（s）-suc（0）-u c（0） +RCsUc（s）-uc（0）+ Uc（s）= Ur（s）,即: LCs2Uc（s） + RCsUc（s）+ Uc（s） = Ur（s）,故: G(s) = Uc（s）/ Ur（s）=1/ LCs2 + RCs+ 1 = 1/(s2+s+1),3 . 无源网络的传递函数求取-复阻抗法,无源网络通常由电阻、电容和电感组成。,无源网络的传递函数求取,一般有两种方法：, 复阻抗法: 依据电路理论复阻抗概念有,电阻R的复阻抗为: ZR=R,电容
10、C的复阻抗为: ZC=1/Cs,电感L的复阻抗为: ZL=Ls,例题3: 求下图所示电路网络的传递函数G(s)。,解： 将电源等效为复阻抗电路, Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1s+1）；,Z2= ZR2+ZC2 =（R2C2s+1）/C2s；, G（s） =U2/U1= Z2 /（Z1 +Z2）,=（R1C1s+1）（R2C2s+1）/（R1C1s+1）（R2C2s+1）+ R1C2s,注：请用“传递函数定义法”求解该例题。,4 . 有源网络的传递函数求取,例题4：有源网络如图（1）所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果.直接用于图（2）所示调节器，写出其
11、传递函数。,图（1）,图（2）,解： 1）对于图（1）,Zi和Zf分别表示放大器外部电路的输入支路及反馈支路的复阻抗，,设A点虚地，即UA=0，则I1=I2,所以, 上述求得的传递函数表达式可以看做计算运算放大器传递函数的一般公式。,2）对于图（2）,因为,所以,例题5：求下图有源网络的微分方程及传递函数（结构图）。,(1)、根据基尔霍夫列写出网络的微分方程式,(2) 、在零初始条件下对上述方程组求拉氏变换,(3) 、消除中间变量，得网络传递函数,试建立以下各图所示系统的微分方程。图中电压ur和uc为输入量和输出量。（传递函数、结构图）,（a）,（c）,（b）,（d）,补充习题一、无源网络,求
12、取下图所示有源网络的微分方程及传递函数，并画出系统的结构图。,（a）,（c）,（b）,（d）,补充习题二、有源网络,26 控制系统的结构图及其简化,1. 结构图,、 定义: 由具有一定函数关系的环节组成的、并标明信号流向的系统框图。, 、构成结构图的基本要素：, 相加点（比较点、综合点）：多个信号叠加。, 分支点（引出点、测量点）：同一信号分成多个信号。,2. 结构图的绘制 网络结构图的绘制, 与传递函数求取一样，亦相应地有两种方法。, 绘制步骤：,A、列写每个元件的运动方程式或传递函数；,B、画出相应的局部框图；,C、将这些方框图按信号流向连接起来，得到系统框图。, 举例说明,例题1 画出下
13、图所示RC网络的结构图。,解：）列写运动方程式或用复阻抗法,） 绘制各元件框图,） 绘制系统框图（连接等信号点）,U1（s）,I（s）,I（s）,U2（s）,U2（s）,解：）用复阻抗法列写方程,） 绘制各元件框图,例题2 试画出下图所示四端网络的结构图。,） 绘制系统框图（连接等信号点）,例题3，RC无源网络电路图如图下，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数。,解：）用复阻抗法列写运动方程式时，依据是广义的欧姆定律,ii）用复阻抗法列写复域方程式如下,iii）结构图如下（分步过程略）, 串联连接,结论1： 串联环节的等效传递函数等于各个环节传递函数的乘积。,3. 结构图的简化,结构图
14、的简化原则：简化前后保持“信号等效”的原则。, 结构图的基本连接形式：串联、并联和反馈连接三种。, 并联连接,其中 G（s）= G1（s） G2（s）,结论2： 并联环节的等效传递函数等于各个环节传递函数的代数和。, 反馈连接,当 H（s）=1时 系统为单位反馈：, 开环传递函数：,定义： 反馈信号B（s）与误差信号E（s）之比。或： 前向通道传递函数与反馈通道传递函数之乘积。,表示为： B（s）/ E（s）= G（s）H（s）其中 G（s）-为前向通道传递函数；H（s）-为反馈通道传递函数。,注意： 1） 开环传递函数指的是闭环系统在开环时的传递函数，而不是开环系统的传递函数；2） 它与梅逊
15、公式中回路增益的含义不同，因为它不包含反馈的极性，回路增益则包含反馈的极性。, 闭环传递函数（教材P55-56）：,（） 消去中间变量E、B、 X1 、X2后，得到系统的总输出为：,G1（s）G2（s） G2（s） C（s）= R（s） + N（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s）,上式说明：C（s）是 R（s）与 N（s）共同作用的结果。,讨论如下：, R（s）0，N（s）=0时，则有 :,G1（s）G2（s） C（s）= R（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s）,C（s） G1（s）G2（s） （s） = = R（s） 1+ G1（s）G2（s）
16、H（s）,-输入信号作用下的闭环传递函数。, N（s）0，R（s）=0时，则有,G2（s） C（s）= N（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s）,C（s） G2（s） n（s） = = N（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s）,-扰动信号作用下的闭环传递函数。,综上所述，系统的总输出为：,C（s）= （s）R（s）n（s）N（s）,其等效结构图为：,（） 消去中间变量C、B、 X1 、X2后，得到系统的总误差为：,上式说明：E（s）也是R（s）与N（s）共同作用的结果。,讨论如下：, R（s）0，N（s）=0时，则有,-输入信号作用下的误差传递函数。, N（s）0，R（s）=0时，则有
17、,-扰动信号作用下的误差传递函数。,综上所述，系统的总误差为：,E（s）=e（s）R（s）en（s）N（s）,同样地，其等效结构图为：, 相加点的移动：根据信号等效的原则，可以将相加点顺着或逆着信号传递的方向移动。, 前往后移,（X1X2）G（s）= X3,X1G（s）X2G（s）= X3,X1 G（s）X2= X3,X1X2/G（s） G（s）= X3,小结，相加点的移动规则为：,a、从前往后移动相加点时，要在移动支路中串入相同传递函数的方框；b、从后往前移动相加点时，要在移动支路中串入相同传递函数之倒数的方框；, 后往前移, 分支点的移动：移动原则同“相加点的移动”。, 前往后移, 后往前
18、移, 从前往后移动分支点时，要在移动支路中串入相同传递函数之倒数的方框； 从后往前移动分支点时，要在移动支路中串入相同传递函数的方框；,小结，分支点的移动规则为：, 相邻相加点之间、相邻分支点之间可以互相调换位置。, 相邻相加点与分支点之间不可以互相调换位置，而需要按照“信号等效原则”进行变换。,4结构图的简化例题分析,例题 1 利用结构图等效简化方法求系统传递函数C(s)/R(s)。,解：在简化过程中，可以有多种形式，比如此例：,采用第种情况简化：,再简化椭圆区域的局部正反馈，得：,再依次逐步简化：,系统传递函数为,解：,方法1：A移动到B, A移动到B后 ， A、B互相调换位置,例题2 试
19、利用结构图等效变换原则，简化下述结构图，并求取系统的C（s）/ R（s）。,A,B,系统的C（s）/ R（s）,方法2：B移动到A （略）, 局部简化,例题3 试利用结构图等效变换原则，简化下述结构图，并求取系统的C（s）/ R（s）。,解：（1） 同时将B处相加点前移、C处分支点后移：,（2） 同时进行串联、并联,A,B,C,（3）系统的C（s）/ R（s）,C（s） G1(s)G2(s) = R（s） 1+ G1(s)G2(s)G1(s)G2(s)H(s),例题4 教材P45：例2-11、P46：例2-12。,例题5在保持系统闭环传递函数不变的条件下将图(a)所示框图变换成图(b)、(c)
20、，并求H(s)、G(s)的表达式。,解：(1)、框图（a）变换为图（b）的变换过程如下,比较图（b）可得,框图（a）,比较图（c）可得,（2）、框图（a）变换为图（c）的变换过程如下,框图（a）,例题4求取下述结构图所示系统的传递函数C（s）/R（s）。,为了求取系统的传递函数，先计算下图所示系统的传递函数：,解：方法一,由上图可得,即,故有,因此，上述系统可等效为,所以，系统的闭环传递函数为,将,代入上式，得,方法二：信号流图法利用梅逊公式求取(后续内容),该图有5个回路，4条前向通路。,L1=G1，L2=G1G2，L3=G2，L4=G2G1，L5=G1G2,5个回路分别是,4条前向通路及对
21、应的特征余子式分别为,P1=G1， P2=G1G2， P3=G2， P4=G2G1,1=1， 2=1， 3=1 ， 4=1,特征式为,同样，将G1、G2代入下式可求得系统的闭环传递函数, 信号流图的构成, 构成信号流图的基本元素是：节点 和 支路,节点： 表示变量或信号的点。以“ o ”表示，并标明变量名。,支路： 连接两个节点的定向线段。以“ ”表示。,其中，节点又分为三种：,2.7 信号流图及梅逊公式,1 信号流图, 定义：指由节点和支路组成的一种信号传递网络。或指一种表示一个线性代数方程组的网络图。,开通道：通道与任何一个节点只相交一次。 闭通道（回环）：通路的终点回到起点，而通道与任何
22、其它节点只相交一次。“自环”即闭通道的一种特殊情况。 前向通道：从源点开始到汇点结束的开通道。,（）、传输：两个节点之间的增益，即支路增益。,通道传输：通道中各支路传输的乘积。 回环传输（回路增益）：闭通道中各支路传输的乘积。 自环传输：自回环所具有的传输。, 信号流图的性质 （教材P48）（1）（4）, 信号流图中常用术语,（）、通道（通路）：从一个节点开始，沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。,2 信号流图的运算, 加法（并联）, 乘法（串联）, 分配法（消去混合节点）, 自回路简化,a1 X1+ a2 X2 = X2, 反馈回路简化,X2 = a1 X1 a3 X3 X3 = a2 X2
23、,3 信号流图的绘制,例题1 设有某线性系统的性能可由下列方程组来描述，试绘制该系统的信号流图。,解： 画出节点（变量）：y1、 y2 、y3 、y4 、y5 。, 分别绘制各方程的信号流图。, 整理系统信号流图。,B). 以s域代数方程中的每一个变量为一个节点，各系数 为支路增益，绘制各方程的信号流图。,例题2 见下页。,例题2已知控制系统的结构图如图所示。绘出相应的信号流图。,解：系统信号流图为（先确定各个节点、支路及其增益）,例题3 试绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。(教材P50例2-13),1 2 3 4 5 6,解：1） 选取节点如图所示；,2） 支路中的传递函数即为支路增益；
24、,3） 注意符号并整理得到系统信号流图如下：,1 2 3 4 5 6,4 梅逊公式,1） 梅逊公式表达式： （其分析过程 P55-57：略）,1 n P = Pkk k=1,说明:,P系统总增益（系统传递函数）； PK第K条前向通道的传输； n 从源点到汇点的前向通道总条数； 特征式： =1LaLbLcLdLeLf ,其中：La 所有不同回路的增益之和； LbLc每两个互不接触回路增益乘积之和； LdLeLf每三个互不接触回路增益乘积之和；,k在中去掉与第K条前向通道相接触的回路后余下的特征式。,2） 梅逊公式的应用,例题4 试用梅逊公式求取例题2所示系统结构图的传递函数。,在上述信号流图中独
25、立回路有4个，即：,P1=G1G2G3K， P2=G2G3K， P3=G1G3K， P4=-G1G2G3K 1=1 ， 2=1+ G1 ， 3=1+ G2 ， 4=1,解：从源点R到阱点C的前向通道共有4条，其对应的各前向通道总增益Pk和余子式分别为：,特征式为,因此，系统传递函数为,两个互不接触的回路有4组，即：,三个互不接触的回路有1组，即：,例题5 试用梅逊公式求取例题3所示系统结构图的传递函数。,解：因为已求得其信号流图如下：,1 2 3 4 5 6,前向通道有3条，即n=3，它们是,P1=G1G3 ， P2=G2G3 ， P3=G1G4,单独回路有2个，且互相接触。,La =G1HG
26、2H ，而LbLc，LdLeLf ， =0,=1LaLbLcLdLeLf = 1G1HG2H,故：,1=1， 2=1, 3=1,将上述各式代入梅逊公式，得：,例题6 教材P 5354:例题2-15 2-17。,例题8、某系统结构图如图所示，R(s)为输入，P（s）为扰动，C(s)为输出。 (1)画出系统的信号流图； (2)用梅逊公式求其传递函数C(s) R(s)； (3)说明在什么条件下，输出C(s)不受扰动P(s）的影响。,解： (1) 将图中各端口信号标注出来，然后依之画出相应的信号流图,(2) 该系统有4条回路，2条前向通道,(3) 扰动P(s)到输出C(s)有2条前向通道,作业：第二章 习题 2-3(a)、2-4、2-9、2-10、2-11、2-12(b)、2-13、2-17(a)、(b)、(e)、2-22(b),
