1、数列填空题专项训练（一） 1数列 1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，1，1，n，的第 2011 项为 _ 2将正偶数按如图所示的规律排列：第 n（n4）行从左向右的第 4 个数为 _ 3数列 ，的一个通项公式为 _ 4已知数列a n中，a n=（ 1） n+1（nN *） ，则 a4= _ 5写出数列 ， ， ， 的一个通项公式 _ 6数列a n中 a1=1，a 2=2， an+2=2an+1+an，则 a5= _ 7数列 ， ， ， ，中，有序数对（a，b）可以是 _ 8数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，的第 1000 项是 _
2、9某资料室在计算机使用中，如右表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的，此表中，主对角线上数列 1，2，5，10，17，的通项公式为 _ 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 5 7 9 11 1 4 7 10 13 16 1 5 9 13 17 21 1 6 11 16 21 26 10图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形在下图 4 个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，则这个数列的一个通项公式为 _ 11正整数按下表排列：1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13
3、 20 25 24 23 22 21 位于对角线位置的正整数 1，3，7，13，21，构成数列a n，则 a7= _ ；通项公式 an= _ 12某资料室使用计算机进行编码，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左到右以及从上到下都是无限延伸的，则此表中主对角线上的数构成的数列 1，2，5，10，17，的通项公式为 _ 13 （2012江苏）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为 （n 2）个数是它下一行左右相邻两数的和，如 = ， = + ， = + ，则第 10 行第4 个数（从左往右数）为 _ 14已知 an=n2+n，
4、且 an+1 an 对一切正整数 n 恒成立，则 的取值范围 _ 15已知数列a n的通项公式为 an=n2+n+2011（其中， 为实常数） ，且仅有第 4 项是最小项，则实数 的取值范围为 _ 16已知数列a n的前 n 项和 Sn=2n+3，则 an= _ 17S n 是等差数列a n的前 n 项和，若 a10 且 S19=0，则当 Sn 取得最大值时的 n= _ 18已知函数 对于满足 a+b=1 的实数 a，b 都有 根据以上信息以及等差数列前 n 项和公式的推导方法计算： = _ 19已知数列a n中，a n=n2+n，且 an 是递增数列，求实数 的取值范围 _ 20 （2010
5、浙江）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 _ 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 1 行 1 2 3 第 2 行 2 4 6 第 3 行 3 6 9 21如表给出一个数阵，其中每行每列均为等差数列，且数阵从左至右以及从上到下都有无限个数第三列前 n 项和为 _ ；数阵中数 100 共出现 _ 次22一同学在电脑中打出如下若干个圈： 若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前 120 个圈中的的个数是 _ 23做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在 A、B 、C、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷
6、中按单位分层抽取容量为 100 的样本，若在 B 单位抽取 20 份问卷，则在 D 单位抽取的问卷份数是 _ 份24 （2006重庆）在数列 an中，若 a1=1，a n+1=an+2（n1） ，则该数列的通项 an= _ 25数列a n中， 是等差数列，则 a11= _ 26已知等差数列a n的首项为 1，公差为 2，则通项公式 an= _ 27在等差数列a n中，若 a3+a4+a5=12，a 6=2，则 a2+a3= _ 28已知数列中，a 1=5，a 8=19，a n=pn+q（p，q 为常数） （n N*） ，则 a5= _ 江苏东台唐洋中学数列填空题专项训练（一） 参考答案与试题解
7、析1数列 1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，1，1，n，的第 2011 项为 1 考点： 数列的概念及简单表示法。1021054专题： 规律型。分析： 观察数列的特点可知，数列的第 1 个数为：1，第 1+2 个数为：2，第 1+2+3 数为：3，第 1+2+3+n 个数为 n，其余的数都为 1而第 2011 项介于当 n=62 与当 n=63 之间，照此规律：第 2011 项为 1解答： 解：数列的第 1 个数为：1，第 1+2 个数为：2，第 1+2+3 数为：3，第 1+2+3+n 个数为：n，其余的数都为 1当 n=62 时，1+2+3+n=1953；当 n=
8、63 时，1+2+3+n=2016；照此规律：第 2011 项为 1故答案为：1点评： 本题考查数列的概念及简单表示法、数列的求和公式，解题时要认真审题，仔细解答2将正偶数按如图所示的规律排列：第 n（n4）行从左向右的第 4 个数为 n 2n+8 考点： 数列的概念及简单表示法。1021054分析： 可以观察每行的最后一个数 21，2 （1+2 ） ，2 （1+2+3） ，看出它们的结构特点，第 n 行最后一个数是2（1+2+3+n） ，算出，再写出上一行最后一个数，向后再数四个得到结果解答： 解： 由每一行的最后一数知：21，2（1+2） ，2（1+2+3） ，得第 n1（n4）行的最后一
9、个数为 ，第 n（ n4）行从左向右的第 4 个数为 n2n+8故答案为：n 2n+8点评： 应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决3数列 ，的一个通项公式为 考点： 数列的概念及简单表示法。1021054专题： 探究型。分析： 观察各项，发现分子上的数正好是项数的平方，分母上的数是项数与项数加 1 的乘积，且项的符号正负交叉出现，由此易得其通项公式解答：解：观察各项知，其通项公式可以为 ，验证知，符合前几项故答案为：点评： 本题考查数列的概念及简单表示法，求解的关键是由前几项归纳出规律，即各项与相应项数的对应关系，写出通项4已知数列a n中
10、，a n=（ 1） n+1（nN *） ，则 a4= 2 考点： 数列的概念及简单表示法。1021054专题： 计算题。分析： 题设条件中已经给出了数列的项的表达式，故令 n=4 即可求出 a4 的值解答： 解： 数列 an中，a n=（1） n+1（n N*） ，a4（1） 4+1=1+1=2故答案为 2点评： 本题考查数列的概念及简单表示法，解题的关键是理解函数表示的意义，即项与序号的对应关系，从而利用此表达式求出项5写出数列 ， ， ， 的一个通项公式 a n= 考点： 数列的概念及简单表示法。1021054专题： 探究型。分析： 先观察数据分子分母可以分开来看，分子是 1，3，5，7
11、得奇数可用 2n1 替代，分母则为为偶数的平方，且每各一项符号发生改变，写出通项即可解答： 解：分别观察各项分子与分母的规律，分子为奇数列2n1；分母为偶数的平方，且每各一项符号发生改变故所求通项公式为 an= 故答案为：a n= 点评： 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，考查的是学生对数据的观察归纳能力，需要注意其和常见数据的联系6数列a n中 a1=1，a 2=2， an+2=2an+1+an，则 a5= 29 考点： 数列的概念及简单表示法；数列递推式。1021054专题： 计算题；转化思想。分析： 由题中的递推公式可以求出数列的各项，得出正确结果解答： 解：数列a n中 a1=
12、1，a 2=2， an+2=2an+1+an，a 3=2a2+a1=5，a 4=2a3+a2=12，a 5=2a4+a3=29；故答案为：29点评： 本题通过递推数列求出数列的项，由归纳，猜想，找出规律，从而得出结果，一般不用证明7数列 ， ， ， ，中，有序数对（a，b）可以是 （ ， ） 考点： 数列的概念及简单表示法。1021054分析： 遇到这样的数列问题，观察数列中项的结构特点，若是分数，要观察分子和分母之间的关系，分子和分母同项数之间的关系，得到各项具有的公共的特点解答： 解： 观察数列的特点发现分母上的数字比分子上的被开方数小 2，从上面的规律可以看出 ，解上式得故答案为：（ ，
13、 ）点评： 本题可以培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力，通过本题的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力8数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，的第 1000 项是 45 考点： 数列的概念及简单表示法。1021054专题： 常规题型。分析： 由题意可知，此数列由一个 1，两个 2，3 个 3组成，欲求第 1000 项，需求自然数列前 n 项和不大于1000 时的最大 n 值，再列举出第 1000 项解答： 解：因为 1+2+3+n=n（n+1）/2 ，由 n（n+1）
14、/2 1000 得 n 的最大值为 44，即最后一个 44 是数列的第990 项，而 45 共有 45 项，所以，第 1000 项应为 45，故答案为 45点评： 本题考查数列定义，解题时要注意观察，发现规律，利用等差数列知识解答9某资料室在计算机使用中，如右表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的，此表中，主对角线上数列 1，2，5，10，17，的通项公式为 a n=n22n+2 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 5 7 9 11 1 4 7 10 13 16 1 5 9 13 17 21 1 6 11 16 21 26 考点： 数列的概念及简单表示
15、法。1021054专题： 计算题。分析： 观察表中形成的数列，1，2，5，10，17，第二项比第一项大 1，第三相比第二项大 3，第四相比第三项大 5，第五相比第四项大 7，以此类推，后一项与前一项的差形成一个公差为 2 的等差数列，用叠加法求出结果解答： 解： a2a1=1，a3a2=3，a4a3=5，anan1=2（n1） 1，把上述各式相加，得到an=1+3+5+7+（2n3）+1= +1=（n1） 2+1=n22n+2故答案为：a n=n22n+2点评： 在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题
16、的能力10图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形在下图 4 个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，则这个数列的一个通项公式为 考点： 数列的概念及简单表示法；归纳推理。1021054专题： 计算题。分析： 先根据图形求出前后两图的递推关系，然后利用叠加法进行求解，再利用等比数例，求出数列的通项公式解答： 解：根据图形可知 a1=1，a n+1an=3n当 n2 时an=a1+（a 2a1）+ （a 3a2）+ （a nan1）=1+3+32+3n1=故答案为： 点评： 本题主要考查了等比数列的求和，数列中的叠加法求通项，以及识图能力和运算推理能力11正整数按
17、下表排列：1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 位于对角线位置的正整数 1，3，7，13，21，构成数列a n，则 a7= 43 ；通项公式 an= n 2n+1 考点： 数列的概念及简单表示法。1021054分析： 观察数阵的结构特点，位于对角线位置的正整数 1，3，7，13，21，构成数列a n，它的第二项比第一项大二，第三项比第二项大四，第四项比第三项大六，发现数列每一项与它前一项的差组成等差数列，求出结果解答： 解： a2a1=2，a3a2=4，a4a3=6anan1=2（n1）把上式叠加得到
18、：an=2+4+6+2（n 1）+a 1=n2n+1，故答案为：43，n 2n+1点评： 本题是一道综合题，使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题 12某资料室使用计算机进行编码，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左到右以及从上到下都是无限延伸的，则此表中主对角线上的数构成的数列 1，2，5，10，17，的通项公式为 （n1） 2 考点： 数列的概念及简单表示法。1021054分析： 观察表中形成的数列，1，2，5，10，17，第二项比第一项大 1，第三相比第二项大 3，第四相比第三项大
19、5，第五相比第四项大 7，以此类推，后一项与前一项的差形成一个公差为 2 的等差数列，用叠加法求出结果解答： 解： a2a1=1，a3a2=3，a4a3=5，anan1=2（n1） 1，把上述各式相加，得到an=1+3+5+7+（2n3）=（n1） 2故答案为：（n1） 2点评： 在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力13 （2012江苏）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为 （n 2）个数是它下一行左右相邻两数的和，如 =
20、 ， = + ， = + ，则第 10 行第4 个数（从左往右数）为 考点： 数列的函数特性。1021054专题： 计算题。分析： 据每个数是它下一行左右相邻两数的和，先求出第 8，9，10 三行的第 2 个数，再求出 9，10 两行的第 3个数，求出第 10 行的第 4 个数解答： 解：设第 n 行第 m 个数为 a（n，m） ，据题意知 a（7，1） = ，a （8，1） = ，a （9，1） = ，a （10，1） = a（10，2） =a（9，1） a（10，1） = = ，a （8，2） =a（7，1） a（8，1） = = ，a（9，2） =a（8， 1） a（9，1） = ，a
21、（10，3） =a（9，2） a（10，2） = ，a （9，3） =a（8，2） a（9，2） = ，a（10，4） =a（9， 3） a（10，3） = ，故答案为 点评： 本题考查通过观察归纳出各数的关系，考差了学生的观察能力和计算能力，属于中档题，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题14已知 an=n2+n，且 an+1 an 对一切正整数 n 恒成立，则 的取值范围 3 考点： 数列的函数特性。1021054专题： 计算题。分析： 本题中数列的通项公式是一个关于 n 的二次的形式，故可以借助二次函数的性质来研究其单调性，得到参数的取值范围解答： 解： an=n2+n，且 an+1a n 对一切正整数 n 恒成立数列是一个单调递增的数列，故 f（x）=x 2+x 在（1，+ ）上是一个增函数由于数列是一个离散的函数，故可令 得 3故 的取值范围是 3点评： 本题借助二次函数的性质来研究数列的单调性，要注意数列是一个离散函数这一特征，避免出错15已知数列a n的通项公式为 an=n2+n+2011（其中， 为实常数） ，且仅有第 4 项是最小项，则实数 的取值范围为 （9， 7）
