1、2.1.4 函数的奇偶性21.5 用计算机作函数的图象(选学)(略)1了解函数奇偶性的含义(难点)2掌握判断函数奇偶性的方法(重点、难点)3了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系(易错点)基础初探教材整理 1 奇函数阅读教材 P47 内容，完成下列问题1定义：设函数 y f(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个x，都有xD，且 f(x )f(x )，则这个函数叫做奇函数2图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)对于函数 y
2、f( x)，若存在 x，使 f(x)f (x)，则函数 yf(x)一定是奇函数( )(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数( )(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数( )【解析】 (1).反例：f(x )x 2，存在 x0，f(0) f (0)0，但函数 f(x)x 2 不是奇函数(2).存在 f(x)0，x R 既是奇函数，又是偶函数(3).函数 f(x)x 22x ，xR 的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 偶函数阅读教材 P47P 48“例 1”以上的内容，完成下列问题1定义：设函数 y g(x)
3、的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个x，都有xD，且 g(x )g(x )，则这个函数叫做偶函数2图象特征：如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f (x)x 22x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图 217 所示，请补出完整函数 f(x)的图象，并根据图象写出函数 f(x)的增区间图 217【解】 由题意做出函数图象如下：据图可知，单调增区间为：(1,0)，(1 ，) 小组合作型函数奇偶性的判断给出以下结论：f(x)| x1|
4、x1|是奇函数；g(x ) 既不是奇函数也不是偶函数；1 x2|x 2| 2F(x)f(x )f(x)( x R)是偶函数；h(x ) 既是奇函数，又是偶函数其中正确的序x2 1 1 x2号是_【精彩点拨】 先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断【自主解答】 对于，f(x)|x 1|x1|(|x1| x1|)f (x)，f(x)| x1|x1|是奇函数，正确；对于，由 1x 20，得 1x 1，g(x) ，满足 g( x)g( x)，故 yg(x )是奇1 x2|x 2| 2 1 x2x 2 2 1 x2x函数，错误；对于，F
5、( x)f (x)f(x )，F(x )f(x)f(x )F(x )(xR) ，F( x)f(x )f(x)是偶函数，正确；对于，由Error!解得 x1 ，故函数 h(x)的定义域为1,1，且 h(x)0，所以 h(x)既是奇函数，又是偶函数，正确【答案】 定义法判断函数奇偶性的步骤再练一题1下列函数中，是偶函数的有_(填序号)(1)f(x)x 3；(2)f(x)|x|1；(3)f(x) ；1x2(4)f(x)x ；(5)f(x)x 2，x 1,2；1x(6)f(x) .x2 1【解析】 对于(1)，f(x )x 3f(x )，则为奇函数；对于(2) ，f(x)|x| 1|x|1，则为偶函数
6、；对于(3) ，定义域为 x|x0，关于原点对称，f(x) f(x)，则为偶函数；1 x2 1x2对于(4) ，定义域为 x|x0，关于原点对称，f(x)x f(x)，则为奇函数；1x对于(5) ，定义域为1,2 ，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数；对于(6) ，定义域为 (，11，)，关于原点对称，f(x) f(x )，则为偶函数故为偶函数的是(2)(3)(6) x2 1 x2 1【答案】 (2)(3)(6)利用函数的奇偶性求函数值或参数值(1) 若函数 f(x) 为奇函数，则 a( )x2x 1x aA. B. 12 23C. D134(2)已知 f(x)x 5ax 3bx8
7、 且 f(2)10，那么 f(2)_. 【导学号：60210043】【精彩点拨】 (1)利用奇函数的定义得到 f(1)f(1)，列出方程求出 a；(2)由已知中 f(x)x 5ax 3bx8，我们构造出函数 g(x)f (x)8，由函数奇偶性的性质，可得 g(x)为奇函数，由 f(2) 10，我们逐次求出 g(2) 、g(2)，可求 f(2)【自主解答】 (1)f(x )为奇函数，f( 1) f(1)， ，11 a 131 a1a3(1a) ，解得 a ，故选 A.12(2)f(x)x 5ax 3bx8，令 g(x)f( x)8x 5ax 3bx ，则 g(x)为奇函数，f( 2)10 ，g(
8、2) 10818，g(2)18，f(2) g(2)818826.【答案】 (1)A (2) 261由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数2利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此再练一题2设函数 f(x)(xR) 为奇函数， f(1) ，f( x2)f(x )f(2) ，则12f(5)( )A0 B
9、1 C. D552【解析】 由 f(1) ，对 f(x2)f(x)f(2)，令 x1，得 f(1)12f ( 1)f (2)又f(x) 为奇函数， f(1)f(1)于是 f(2)2f (1)1；令x1，得 f(3)f(1)f(2) ，于是 f(5)f(3) f(2) .32 52【答案】 C利用奇偶性求函数的解析式函数 f(x)在 R 上为奇函数，当 x0 时，f (x) 1，求 f(x)的x解析式【精彩点拨】 要求函数的解析式，根据题意，只要求当 x0 的函数解析式，由 x0 时，f(x ) ，可先设 x0，则x 0，结合x 1f(x )f( x)，f(0) 0，可求 f(x)【自主解答】
10、设 x 0，则x 0，f( x) 1，f(x )是 x奇函数，f( x)f(x)，即f(x ) 1，f(x) 1， x xf(x)是奇函数，f(0)0，f(x)Error!利用奇偶性求函数解析式的一般步骤1在哪个区间上求解析式，x 就设在哪个区间2把 x 对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入3利用函数的奇偶性把 f(x) 改写成f(x)或 f(x)，从而求出f(x)再练一题3已知 y f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f (x)x(x 2)，则当 x0 时， f(x)的表达式为( )Af(x)x(x2) Bf(x)x (x 2)C f(x)x (x2) Df(x)
11、x (x2)【解析】 函数 y f(x)是定义在 R 上的奇函数，f( x)f(x)当 x0 时，f( x)x( x2)，当 x0 时，即 x 0，f(x)f(x )x( x2)x (x2)故选 D.【答案】 D探究共研型函数奇偶性与单调性的综合应用探究 1 如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(b， a)上的单调性如何？如果偶函数 f(x)在区间 (a，b)上单调递减，那么 f(x)在( b，a)上的单调性如何？【提示】 如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(b， a)上单调递增；如果偶函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f
12、(x)在( b，a)上单调递增探究 2 你能否把探究 1 所得出的结论用一句话概括出来？【提示】 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反探究 3 若偶函数 f(x)在(，0)上单调递增，那么 f(3)和 f(2)的大小关系如何？若 f(a)f(b)，你能得到什么结论？【提示】 f(2)f(3)，若 f(a)f(b)，则| a|b|.(1) 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足：对任意的x1、x 2( ，0( x1 x2)，有(x 2x 1)f(x2) f(x1)0，则当 nN *时，有( )Af(n) f(n1)f (n1)B f(n1)f( n)f(
13、n1)C f(n1)f( n)f( n1)Df(n1)f(n1)f(n)(2)已知 y f(x)在定义域(1,1) 上是减函数，其图象关于原点对称，且 f(1a) f(12a) 0，则 a 的取值范围是 _【精彩点拨】 (1)根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可(2)由于 y f(x)在定义域(1,1) 上，其图象关于原点对称，可得函数 f(x)是奇函数再利用单调性即可得出【自主解答】 (1)对任意的 x1、x 2(，0(x 1x 2)，有(x2 x1)f(x2)f( x1)0 ，若 x2x 10，则 f(x2)f(x 1)0，即 x2x 1，则 f(x2)f
14、 (x1)，若 x2x 10，则 f(x2)f(x 1)0，即 x2x 1，则 f(x2)f (x1)，则函数在( ， 0上为单调递增函数f(x)在(，0上是偶函数，函数 f(x)在 0，) 上为单调递减函数，则 f(n1) f(n)f(n1)，即 f(n1) f(n) f (n1)，故选B.(2)yf (x)在定义域(1,1) 上，其图象关于原点对称， 函数 f(x)是奇函数f(1a) f(12a) 0，f(1 a)f(12a)f(2a1) ，又 yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，11a2a11，解得 0a .23a 的取值范围是 0a .23【答案】 (1)B (2) (0，23)1
15、利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题，要首先弄清函数在各区间上的单调性，然后利用单调性列出不等式并求解，同时不应忘记函数自身定义域对参数的影响2利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较再练一题4设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x0，)时，f (x)是增函数，则 f( 2)， f()，f(3) 的大小关系是( )Af() f(3)f( 2)B f()f (2)f(3)C f()f (3)f(2)Df() f(2)f( 3)【解析】 由偶函数与单调性的关系知，若 x0，) 时，f (x)是增函数，则 x( ，0) 时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，|2|3|，f()f(3) f (2)，故选 A.【答案】 A1下列函数是偶函数的是( )Af(x)x Bf(x)2x 23C f(x) Df(x) x 2，x(1,1x【解析】 对于 A，f(x) xf(x) ，是奇函数；对于 B，定义域为 R，满足 f(x) f(x)，是偶函数；对于 C 和 D，定义域不对称，则不是偶函数，故选 B.【答案】 B2已知 f(x)ax 2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数，那么 ab的值是( )A B. 13 13C D.12 12
