1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试适应性训练数学（理科）第卷（选择题 共 60 分）一 选 择 题 ： 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 （ 本 大题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 ）1已知全集 ，集合 ，则RU031|,2|xxBxA等于( ) )BCARA B C D,1,2,22设复数 的共轭复数为 ，且满足 ， 为虚数单位，则复数zziz1的虚部是( )zA 1 B 2 C 2 D 23已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机2,0N取一件，其长度误差落在区间 内的
2、概率为( )4,（附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，2N68.P， ）95.022P 3.974A B C D0456.13718.1.04已知 ，则使 成立的一个充分不xaf2,f必要条件是（ ）A B C D2xx015定义运算 为执行如图所示的程序框图输出的 值，则b S的值为( )15cossinA B C D43243241436已知向量 , , ，若 ，则向量 与向量 的夹ab2,kcbca/ac角的余弦值是（ ） A B C D5515517设函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度后，xfsin0xfy6所得图象与函数 的图像重合，则 的最小值是（ ）ycoA B C D31
3、3698已知一个棱长为 的正方体，被一个平面截去一部分后所得几何体的三视2图 如图所示，则该截面的面积为（ ）A B C D1022931029已知异面直线 、 成 角，A 为空间中一点，则ab80过 A 与 、 都成 角的平面共有（ ）4A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10已知 为经过抛物线 焦点 的弦， 为26yxFC抛物线的准线与 x 轴的交点，若弦 AB 的斜率为 ，则ACB 的正切值为（ 3）A B C1 D不存在40982111已知数列 是等比数列，若 ，则 （ ）na852a95154aaA有最大值 B有最小值 C有最大值 D有最小值22212已知函数 （注： 是自然对数的
4、底数） ，方程xef， 有四个实数根，则 的取值范围为( ) 210fxttRtA B C D,ee1,2 2,1ee1,2第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求作答.二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，把答案填写在答题卡相应的位置）13若数列 是正项数列，且 ，则na naan3221 132114 展开式中各项系数的和为 ，则该展开式中常数项为 5xx15过 向圆 引切线 ，T 为切点，若|PT|=|PO|（O(,)Pab22()(3)1y
5、P为坐标原点），则切线|PT|的最小值为 16若整数 满足不等式组 ，则 的最小值为 yx, 2507,xyyx43 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分) 己知函数 ，213sincosifxxxR（）当 时，求函数 的最小值和最大值；,46xf（）设 的内角 的对应边分别为 ，且 ， ，ABC, cba,32Cf若向量 与向量 共线，求 的值am,1bn2,18(本小题满分 12 分) 在三棱柱 中，侧面 为矩形，1CBA1AB， ， 为 的中点， 与 交于点 ， 侧面2AB1D1DOC.1（）证明： ；ABC（）若 ，
6、求直线 与平面O1所成角的正弦值19(本小题满分 12 分) 某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为合格品，小于 82 为次品现随机抽取这两种芯片各100 件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 70，76） 76，82） 82，88） 88，94） 94，100芯片甲 8 12 40 32 8芯片乙 7 18 40 29 6（）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利 40 元，若是次品则亏损 5 元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利 50 元，若是次品则亏损 10 元在（1）的前提下，记 X 为生产 1 件芯片甲和 1
7、 件芯片乙所得的总利润，求随机变量 X的概率分布及生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得总利润的平均值20(本小题满分 12 分) 已知双曲线 C： （ ） ， 为 C 的21xyab,0a12,F左右焦点，P 为 C 右支上一点，且使 ，又 的面积123FP12P为 23a（）求双曲线 C 的离心率 ；e（）设 A 为 C 的左顶点，Q 为第一象限内 C 上任意一点，问是否存在常数（0） ，使得 恒成立，若存在，求出 的值，若不存在，22FA请说明理由21(本小题满分 12 分) 已知函数 的图像在 处的()(ln1)fxabx1x切线方程为 230xy（）求 ， 的值；ab（）证明：当 时
8、，恒有 ；l（）证明：对于任意给定的正数 ，总存在正实数 ，使得当 时，恒M0x0x有 lnxM请考生在第 22，23，24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， 的外接圆的切线 与 的延长线ABCAEBC相交于点 ， 的平分线与 相交于点 ，ED2D（）求证： ；（）求 的值23 （本小题满分 10 分)选修 44；坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，xOyCsinco3yx在以原点 为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程l为 24sin（）求曲
9、线 的普通方程和直线 的倾斜角；Cl（）设点 ，直线 和曲线 交于 两点，求 的值2,0PlCBA,PBA24 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知实数 nm,满足关于 的不等式 的解集为 ，x 96322xnmxR（）求 的值；（）若 ，且 ，求证： Rcba,cba3cba数学（理科）答案一选择题：CABCC ADCCA DB二填空题：13 ； 1440； 15 ； 161626n136三解答题：17 【解答】：（） ,则 的最大值为 ,最小值为si216fxfx2；0（2）由 知， ，由 知， ，则2fC3/mn2ba1b18【解答】：（）证明：由题意可知，在 中， ，AB
10、DRT2tan在 中， .所以 ，1ABRT2tan1B1所以 ，21AD所以 ，又 侧面 ，所以 .1COCOAB1又因为 ，所以 平面 ,所以 .1D1（）如图所示，分别以 所在的直线为 轴， 轴， 轴，以 为B,xyzO原点，建立空间直角坐标系，则,02,0,2,0,21BA由 求得 ,设平面 法向量为 ，则求得1C1ABCn，,n设直线 与平面 所成角为 ，则D1A35sin19 【解答】：（）芯片甲为合格品的概率约为 ，4028415芯片乙为合格品的概率约为 40296314（）随机变量 的所有取值为 X,5,； ；43905P20P；111,54所以，随机变量 X 的分布列为：90
11、430P35252因为 ,所以总利润的平均值为 的期望6EX6020 【解答】：（）由定义 ，12ra又 123sinPFSra124coc22116rre=2（）e=2，可设双曲线方程为： ，213xya即为 223xya假设存在常数 ，使得 恒成立，取 ，则22QFA(2,3)Qa=90，由于 A（-a，0） ， ， =45，=22QFA|F2AF以下证明一般性：任取 则0(,),)xy203xy设 ，则 ，2tanAQka这时 0022220()()tan1t 3axyxx，恒有20anQFykxFAQ21 【解答】：（） ， 在 处的切线方程为()2abfxx()f1x230xy(1)
12、1122faba （）由（）知 ，()lngxx12()2xg当 ， ，当 ， ，(0,4)x0(4,0 ，即2lgl（） 【方法一】：由（） 知nx，1114242lnlnlxx对于任意给定的正数 ， ，只要 ，取Mlnx14462xM，4016x当 时，恒有l【方法二】：由（） 知nx 1113362lnlnln3xxx对于任意给定的正数 ， ，只要 ，取Ml 37M，3027x当 时，恒有lnx【方法三】：显然对 都有0111444lnlllnxxxeeee对于任意给定的正数 ， ，只要M4Mxe取 时，当 时，恒有40xe0xlnx【方法四】：显然对 要使 ，设2t则只要 22lnln
13、ttt由（） ，只要 即 ，取 ，即1Mt24204tM24016xt22 【解答】 （）因为 为圆的切线，所以 ,AECAEBD又因为 平分 ，所以 ,ADBCD因为 ,所以 ,AE所以 E（） ,因为 ,所以2,324,3C则 ,所以3CBE23 【解答】 （）曲线 的普通方程： ，C192yx直线 的直角坐标方程： ，倾斜角为l 02yx43（）由上知， 在直线 上，设直线 的参数方程为 （ 为参数）Pll2yxt代入曲线 的方程得： ，C0271852tt由直线上的点 在曲线 内知方程有两个不同的解 ，即为点 对应0,C21,tBA,的参数，则 ， ，则 ，,2121tt 0,21tt 02t所以 58PBA24 【解答】 （）将 代入不等式得 ，得3,1x3901mn23mn（） ，由柯西不等式知，1abc，所以 2abc
