1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十二)复数代数形式的加、减运算及其几何意义(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.(2015贵阳高二检测)若复数 z 满足 z+(3-4i)=1，则 z 的虚部是( )A.-2 B.4 C.3 D.-4【解析】选 B.由复数的加减法运算知 z=-2+4i，故虚部为 4.2.复数 z1=3+i，z 2=1-i，则 z1-z2在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选 A.z
2、1-z2=(3+i)-(1-i)=2+2i，对应的点为(2，2)，在第一象限.【补偿训练】设 z1=3-4i，z 2=-2+3i，则 z1-z2在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选 D.由已知，得 z1-z2=3-4i-(-2+3i)=5-7i，则 z1-z2在复平面内对应的点为(5，-7)，应选 D.3.若复数 z 满足 z+(2-3i)=-1+2i，则 z+2-5i 等于( )A.-1 B.-1+10i C.1-6i D.1-10i【解析】选 A.由 z+(2-3i)=-1+2i，得 z=(-1+2i)-(2-3i)=-3+5i，于是
3、z+2-5i=(-3+5i)+(2-5i)=-1，故选 A.4.(2015郑州高二检测)满足条件|z-i|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( )A.一条直线 B.两条直线C.圆 D.椭圆【解析】选 C.|3+4i|= =5，所以|z-i|=5，故 z 对应点的轨迹是以(0，1)为圆心，5 为半径的圆.【举一反三】将条件“|z-i|=|3+4i|”改为“|z+1|+|z-1|=4” ，结果如何？【解析】根据复数模的几何意义知，复数 z 在复平面内的对应点到两定点(-1，0)，(1，0)的距离和为定值 4，大于两定点间的距离 2，故其轨迹是以(-1，0)，(1，0)为焦点的椭圆.
4、5.A，B 分别是复数 z1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1+z2|=|z1-z2|，则三角形 AOB 一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解题指南】利用复数加减法的几何意义，转化为向量问题进行判断.【解析】选 B.根据复数加(减)法的几何意义知，以 ， 为邻边所作的平行四边形的两条对角线的长度分别为|z 1+z2|，|z 1-z2|，因为|z 1+z2|=|z1-z2|，则此平行四边形为矩形，故三角形 AOB 为直角三角形，故选 B.【拓展延伸】数形结合法解复数问题复数加减法的几何意义是通过数形结合实现“数”与“形”的沟通，复数的加
5、减法可以按照向量加减法的平行四边形法则或三角形法则进行.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6.(2015苏州高二检测)计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|= .【解析】|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|= =5.答案：57.复数 z1= -2mi，z 2=-m+m2i，若 z1+z20，则实数 m= .【解析】z 1+z2=( -2mi)+(-m+m2i)=( -m)+(m2-2m)i.因为 z1+z20，所以 z1+z2为实数且大于 0，所以 解得 m=2.答案：28.(2015杭州高二检测)在复平面内，O 是原
6、点，向量 ， ， 对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，则 对应的复数为 .【解析】 = - = -( + )，于是 对应的复数为 3+2i-(-2+i+1+5i)=3+2-1+(2-1-5)i=4-4i.答案：4-4i三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9.已知 A(1，0)，B(2，1)，C(-1，3)，且 = ，求 及 D 点对应的复数.【解析】设点 A，B，C，D 对应的复数分别为 z1，z 2，z 3，z 4，所以 z1=1，z 2=2+i，z 3=-1+3i.所以 对应的复数为 z2-z1=1+i.又 = ，故 对应的复数为 1+i，即 z4-z3=1+i，所以 z
7、4=1+i+(-1+3i)=4i.【补偿训练】已知复数 z1=2+i，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别是 A，B，求对应的复数 z，并指出复数 z 在复平面内所对应的点在第几象限.【解析】复数 z1=2+i 与向量 =(2，1)对应，复数 z2=1+2i 与向量 =(1，2)对应，由于 = - ，所以向量 对应的复数 z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i，即 z=-1+i，z 在复平面内对应的点为(-1，1)，在第二象限.10.(2015唐山高二检测)已知复数 z1，z 2满足|z 1|=|z2|=|z1+z2|，z 1+z2=2i，求 z1，z 2.【解析】设 z1=a
8、+bi(a，bR)，因为 z1+z2=2i，所以 z2=2i-z1=-a+(2-b)i.因为|z 1|=|z2|=|z1+z2|=|2i|=2，所以 解得 a= ，b=1.故所求的复数为 z1= +i，z 2=- +i 或 z1=- +i，z 2= +i.(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1.在复平面内点 A，B，C 对应的复数分别为 i，1，4+2i，由 ABCD 按逆时针顺序作ABCD，则| |等于( )A.5 B. C. D.【解题指南】先求出向量 ， 对应的复数，根据平面向量的平行四边形法则： = + ，求得 对应的复数，然后求| |.【解析】选 B.因
9、为 = - ，所以向量 对应的复数为-1+i，因为= - ，所以向量 对应的复数为 4+2i-1=3+2i，又 = + ，所以 对应的复数为(-1+i)+(3+2i)=2+3i，所以| |=|2+3i|= .2.满足条件|z|=1 及|z+ |=|z- |的复数 z 的集合是( )A.B.C.D.【解析】选 C.设 z=x+yi(x，yR)，依题意得解得 所以 z= i.【一题多解】选 C.根据复数模的几何意义知|z|=1 是单位圆， = 是以 A ，B 为端点的线段 AB 的中垂线 x= .所以满足此条件的复数 z 是以 为实部的复数，由模为 1 知选 C.【拓展延伸】复数问题实数化思想设出
10、复数 z=x+yi(x，yR)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为 x，y满足的关系式，利用方程的思想求解，这是有关复数问题的基本思想复数问题实数化思想.二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3.(2015重庆高二检测)已知|z|= ，且 z-2+4i 为纯虚数，则复数 z= .【解析】设 z=a+bi(a，bR)，则有|z|= ，z-2+4i=(a-2)+(b+4)i，依题意得解得 或即 z=2+i 或 z=2-i.答案：2+i 或 2-i4.(2015攀枝花高二检测)已知|z|=1，则|z-1+ i|的最大值和最小值分别是 、 .【解析】因为|z|=1，所以点 Z 在以原点为圆心，
11、半径为 1 的圆上，|z-1+ i|=|z-(1- i)|，即圆上一点到点(1，- )的距离(设为 d)，dmax=3，d min=1.答案：3 1【举一反三】若本题条件改为“已知|z-4|=1” ，则结果如何？【解析】因为|z-4|=1，所以点 Z 在以(4，0)点为圆心，半径为 1 的圆上，|z-1+ i|=|z-(1- i)|即圆上一点到点(1，- )的距离(设为 d)，dmax=2 +1，d min=2 -1.答案：2 +1 2 -1【补偿训练】复数 z 满足|z+3- i|= ，求|z|的最大值和最小值.【解析】|z+3- i|= 表示以 C(-3， )为圆心， 为半径的圆，则|z|
12、表示该圆上的点到原点 O 的距离，显然|z|的最大值为|OC|+ =2 + =3 ，最小值为|OC|- =2 - = .三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)5.已知|z 1|=|z2|=|z1-z2|=1，求|z 1+z2|.【解析】设 z1=a+bi，z 2=c+di(a，b，c，dR)，因为|z 1|=|z2|=|z1-z2|=1，所以 a2+b2=c2+d2=1 (a-c)2+(b-d)2=1 由得 2ac+2bd=1，所以|z 1+z2|= = .【一题多解】本题还可用下面的方法求解：z1，z 2，z 1+z2对应的点分别为 A，B，C，因为|z 1|=|z2|=|z1-z2|
13、=1，所以OAB 是边长为 1 的正三角形，所以四边形 OACB 是一个内角为 60，边长为 1 的菱形，且|z 1+z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长，所以|z 1+z2|=| |= = .6.在复平面内，A，B，C 三点对应的复数为 1，2+i，-1+2i.D 为 BC 的中点.(1)求向量 对应的复数.(2)求ABC 的面积.【解析】(1)由题意知点 A，B，C 分别为(1，0)，(2，1)，(-1，2).因为 D 为BC 的中点，故 D ，= - = -(1，0)= ，故 对应的复数为- + i.(2) = - =(-2，2)，所以| |= = =2 ，= - =(1，1)，所以|
14、 |= = ，= - =(-3，1)，所以| |= .所以| |2=| |2+| |2，所以ABC 为直角三角形，所以 SABC = | | |= 2 =2.【拓展延伸】复数加减法的几何意义的灵活运用(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算.(2)复数的加减运算用向量进行运算时，它们同时满足平行四边形法则和三角形法则.(3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能.【补偿训练】(2014西安高二检测)已知平行四边形 ABCD 中， 与 对应的复数分别是 3+2i 与 1+4i，两对角线 AC 与 BD 相交于 O 点.(1)求 对
15、应的复数.(2)求 对应的复数.(3)求AOB 的面积.【解题指南】(1)(2)根据复数与点，复数与向量的对应关系求解.(3)利用 SAOB = | | |sinAOB 求解.【解析】(1)由于 ABCD 是平行四边形，所以 = + ，于是 = - ，而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i，即 对应的复数是-2+2i.(2)由于 = - ，而(3+2i)-(-2+2i)=5，即 对应的复数是 5.(3)由于 = =- = ，= = .即 = ， = ，于是 =- ，而| |= ，| |= ，所以 cosAOB=- ，因此 cosAOB=- ，故 sinAOB= ，故 SAOB = | | |sinAOB= = .即AOB 的面积为 .关闭 Word 文档返回原板块
