1、2019 届高三上学期五调考试数学(文)试题一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知 , ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合 B 对应不等式的解集,然后求其与集合 A 的交集即可.【详解】因为 ,又 ,所以 .故选 A.【点睛】本题主要考查交集的运算,属于基础题型.2.满足 (是虚数单位)的复数 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将原式子变形为 ,再由复数的除法运算得到结果.【详解】 , ,即 ,故选 A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算,复数的常
2、考内容有: zabi(a,bR)与复平面上的点 Z(a,b)、平面向量 都可建立一一对应的关系(其中 O 是坐标原点);复平面内,实轴上的点都表示实数;虚轴上的点除原点外都表示纯虚数涉及到共轭复数的概念,一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时 ,这两个复数叫做互为共轭复数 ,复数 z 的共轭复数记作3.已知等差数列 的公差为 ,若 , , 成等比数列,则 等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:利用等差数列a n的公差为 2,a1,a3,a4成等比数列,求出 a1,即可求出 a2详解:等差数列a n的公差为 2,a1,a3,a4成等比数列,(a1+4)2=a1(a1+
3、6),a1=-8,a2=-6故选 D.点睛:本题考查等比数列的性质,考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程,收集并整理了 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据,绘制了下面的折线图.根据折线图,下列结论正确的是( )A. 月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月D. 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月,波动性更小,变化比较平稳【答案】D【解析】由折线图知,月跑步平均里程的中位数为 5
4、 月份对应的里程数;月跑步平均里程不是逐月增加的;月跑步平均里程高峰期大致在 9,l0 月份,故 A,B,C 错.本题选择 D 选项.5.在直角坐标系 xOy 中,角 的始边为 x 轴的非负半轴,其终边上的一点 P 的坐标为(其中 ) ,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义,求得 ,再由余弦的倍角公式,即可求解.【详解】由题意,可知角 中终边上一点 的坐标为 且 ,则 ,所以 ,又由 ,故选 C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题,其中解答中根据三角函数的定义,求得的值,再由余弦的倍角公式求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.6.已
5、知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作圆 的切线,交双曲线右支于点 ,若 ,则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作 OA 于点 A, 于点 B,可得 , ,结合双曲线定义可得 从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图,作 OA 于点 A, 于点 B, 与圆 相切, , ,又点 M 在双曲线上,整理,得 ,双曲线的渐近线方程为故选:A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法,解题关键建立关于 a,b 的方程,充分利用平面几何性质,属于中档题.7.某几何体的三视图如图所示,数量单位为 ,它的体积是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三
6、视图,可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥,根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示,三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥,故选 C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积,解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.如图,已知三棱柱 的各条棱长都相等,且 底面 , 是侧棱 的中点,则异面直线 和 所成的角为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意设棱长为 a,补正三棱柱 ABC-A2B2C2,构造直角三角形 A2BM,解直角三角形求出BM,利用勾股定理求出 A2M,从而求解【详解】 设棱长为 a,补正三棱柱 ABC-A2B2C2(如图) 平移 AB1
7、至 A2B,连接 A2M,MBA 2 即为 AB1 与 BM 所成的角,在A 2BM 中, 故选:A【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用,计算比较复杂,要仔细的做9.在等腰直角三角形 中, ,点 为 所在平面上一动点,且满足 ,求 的取值范围A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系,用坐标表示向量,用参数方程表示点 P 的坐标,从而求出的取值范围【详解】根据题意,建立平面直角坐标系,如图所示则 A(0,2),B(2,0),C(0,0),由| |=1 知,点 P 在以 B 为圆心,半径为 1 的圆上,设 P(2+cos,sin),0,2);则 =
8、(cos,sin),又 + =(2,2); ( + )=2cos+2sin=2 sin(+ ),当 + = ,即 = 时, ( + )取得最大值 2 ,当 + = ,即 = 时, ( + )取得最小值2 , ( + )的取值范围是2 ,2 故选:D【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题,是中档题向量的两个作用:载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” ,转化为我们熟悉的数学问题;工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10.如图,平面四边形 中, , , ,将其沿对角线 折成四面体 ,使平面 平面 ,若四面体 的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为( )A.
9、B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设 BC 的中点是 E,连接 DE,由四面体 ABCD 的特征可知,DE 即为球体的半径.【详解】设 BC 的中点是 E,连接 DE,AE,因为 ABAD1,BD由勾股定理得:BAAD又因为 BDCD,即三角形 BCD 为直角三角形所以 DE 为球体的半径故选 A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题,其实质是求球体的半径,解题的关键是构造关于球体半径 R 的方程式,构造常用的方法是构造直角三角形,再利用勾股定理建立关于半径 R的方程.11.已知抛物线 : 的焦点为 ,过点 的直线与抛物线 交于 两点,且直线与圆 交于 两点.若 ,则直线的斜率为A.
10、B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得圆心即为抛物线的焦点,故直线过圆心,于是 为圆的直径,所以 设直线 ,将其代入抛物线方程消去 x 得到关于 y 的一元二次方程,然后根据弦长公式可得 ,于是得到 【详解】由题设可得圆的方程为 ,故圆心为 ,为抛物线的焦点,所以所以 设直线 ,代入 得 ,设直线 l 与抛物线 C 的交点坐标为 ,则 ,则 ,所以 ,解得 故选 C【点睛】 (1)本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算,意在考查分析推理和计算能力(2) 弦长公式对有斜率的直线才能使用,此时公式为 ,其中 表示直线的斜率,是直线和椭圆的方程组消去 化简后 中 的系数,
11、 是的判别式对于斜率不存在的直线,则弦长为 12.已知定义在 上的函数 ,若函数 恰有 2 个零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将函数 恰有 2 个零点转化为两函数 与 有两不同交点,作出函数图像即可求出结果.【详解】由题意函数 恰有 2 个零点,即是方程 有两不等实根,即是两函数 与 有两不同交点,作出函数图像如下图,易得当 时,有两交点,即函数 恰有 2 个零点.故选 B.【点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题,只需将函数有零点转化为两函数有交点的问题来处理,作出函数图像,即可求出结果,属于中档试题 .二、填空题(每题 5 分,满分
12、20 分,将答案填在答题纸上)13.某机构就当地居民的月收入调查了 1 万人,并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图).为了深入调查,要从这 1 万人中按月收入用分层抽样方法抽出 100 人,则月收入在 (元)段应抽出_人【答案】25【解析】【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距,所以频率等于纵坐标乘以组距,求出段的频率,结合样本容量即可求出结果.【详解】由题意,月收入在 (元)段的频率为 ,所以月收入在 (元)段应抽出的人数是 .【点睛】本题主要考查分层抽样,属于基础题型.14. 中,角 , , 的对边分别为, , , , , ,则 的面积等于_【答案】【解析】【分析】先由正
13、弦定理得 a=b,然后由余弦定理求得 a、b,在用面积公式求得 的面积.【详解】 化解得: 即:A=B又 解得:a=b= 【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式,解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15.已知函数 ,若关于 的不等式 恒成立,则实数 的取值范围是_【答案】【解析】函数 的定义域为 ,恒成立,即 等价于 ,令 ,则 ,令 ,则 在 上恒成立, 在 上单调递增, 故当 时, ,函数 单调递减;当 时, ,函数 单调递增,则 ,故 ,故答案为 .点睛:本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题;考查恒成立问题,正确分离参数是关键,也是常用的一种手段通
14、过分离参数可转化为 或恒成立,即 或 即可,利用导数知识结合单调性求出 或即得解;在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数 的最小值.16.如图,在正方体 中,点 是棱 上的一个动点,平面 交棱 于点 下列命题正确的为_.存在点 ,使得 /平面 ;对于任意的点 ,平面 平面 ;存在点 ,使得 平面 ;对于任意的点 ,四棱锥 的体积均不变【答案】【解析】 为棱 上的中点时,此时 也为棱 上的中点,此时;满足 /平面 ,正确 平面 ,不可能存在点 ,使得 ,错误连结 则 平面 ,而 平面 ,平面 平面 ,成立,正确 四棱锥 B1-BED1F 的体积等于 设正方体的棱长为 1,无论 在何点,三角形
15、的面积为 为定值,三棱锥 的高 ,保持不变三角形 的面积为 为定值,三棱锥 的高为 ,保持不变三棱锥 和三棱锥 体积为定值,即四棱锥 的体积等于 为定值,正确故答案为:三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 的最小正周期为 求 的值;中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, , , 面积 ,求b【答案】(1) (2)3【解析】【分析】(1)化简 ,根据函数的最小正周期 即可求出 的值2)由(1)知, .由 ,求得 ,再根据 的面积,解得 ,最后由余弦定理可求出 .【详解】 (1) 故函数的最小正周期 ,解得 .
16、(2)由(1)知, .由 ,得 ( ).所以( ).又 ,所以 . 的面积,解得 .由余弦定理可得 ,所以 .【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识;考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,属于中档题18.等差数列 的公差大于 0,且 是方程 的两根, 数列 的前 项的和为 ,且 (1)求数列 , 的通项公式; (2)记 ,求数列 的前 项和 【答案】 (1) , ;(2)【解析】【分析】(1)由已知条件得 a3=5,a5=9,由此求出 an=a5+(n-5)d=2n-1;由 ,推导出b n是等比数列, , ,由此求出 (2)由(1)知 ,由此利
17、用错位相减法能求出数列c n的前 n 项和 Tn【详解】 (1) 是方程 的两根,且数列 的公差 , ,公差又当 时,有 1当数列 是等比数列, (2)由(1)知 T n ,-,得 即 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用19.如图,三棱柱中 , 平面 , , .(1)求证: ;(2)求直线 与平面 所成角的正切值.【答案】 (1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)先证 平面 ,可得 ,再由四边形 为正方形可得 ,从而可得 平面 ,进而可得 ;(2)由 平面 可得 是直线 与平面 所成的角,利用勾股定理求出 OA,OB
18、,即可得出 .【详解】证明(1) 平面 , 平面 ,又 ,即 , ,平面 , 平面 ,., 四边形 为正方形,又 ,平面 ,又 平面 ,.(2)设 ,连接 .由(1)得 平面 ,是直线 与平面 所成的角.设 ,则 , ,在 中, ,直线 与平面 所成角的正切值为 .【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理,以及直线与平面所成的角,属于中档题型.20.为提高衡水市的整体旅游服务质量,市旅游局举办了旅游知识竞赛,参赛单位为本市内各旅游协会,参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游 3 名,其中高级导游 2 名;乙旅游协会的导游 3 名,其中高级导游 1 名.从这 6 名导游中随机选择 2 人参加
19、比赛. (1)求选出的 2 名都是高级导游的概率;(2)为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况,经多次统计得到,甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是 (单位:万元) ,乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是 (单位:万元) ,求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率.【答案】 (1) ;(2)【解析】【分析】(1)用列举法求出基本事件数,即可计算所求的概率值;(2)根据题意知,所求概率为几何概型问题,由几何概型计算公式即可求出结果.【详解】 (1)设来自甲旅游协会的 3 名导游为 ,其中 为高级导游,来自乙旅游协会的 3 名导游为 ,其中 为高级导游
20、,从这 6 名导游中随机选择 2 人参加比赛,有下列基本情况:, , , , ; ; ;共 15 种,其中选出的 2 名都是高级导游的有 , , ,共 3 种所以选出的 2 人都是高级导游的概率为 .(2)依题意,设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为 (单位:万元) ,乙旅游协会对本地经济收入的贡献为 (单位:万元) ,则 且 ,则 ,属于几何概型问题作图,由图可知 , ,所求概率为 .【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型,属于常规题型.21.已知椭圆 : ( )的右焦点为 ,且椭圆 上一点 到其两焦点 , 的距离之和为 (1)求椭圆 的标准方程;(2)设直线: ( )与椭圆 交于不同两点 ,
21、 ,且 ,若点 满足,求 的值【答案】 (1) ;(2) 的值为 或 【解析】【分析】(1)由已知求得 ,又由 ,由此能求出椭圆的方程;(2)由 ,得 ,由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的性质,结合已知,即可求出 的值【详解】 (1)由已知 ,得 ,又 , ,椭圆 的方程为(2)由 得 直线与椭圆 交于不同两点 、 , ,得 ,设 , , 又由 ,得 ,解得 据题意知,点 为线段的中垂线与直线 的交点,设 的中点为 ,则 ,当 时, ,此时,线段 的中垂线方程为 ,即令 ,得 当 时, , 此时,线段 中垂线方程为,即 令 ,得 综上所述, 的值为 或 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与
22、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常利用 的关系,确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出,本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等22.已知函数 ,其中 (1)试讨论函数 的单调性;(2)若 ,且函数 有两个零点,求实数的最小值【答案】 (1)见解析;(2)2【解析】【分析】求出 ,分别讨论的范围,求出单调性等价于 有两个零点,结合中的结果求导后判定函数的单调
23、性,研究零点问题【详解】(1) ,则当 时, ,所以函数 在 上单调递增;当 时,若 ,则 ,若 ,则所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增;综上可知,当 时,函数 在 上单调递增;当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增;(2) 函数 有两个零点等价于 有两个零点.由(1)可知,当 时,函数 在 上单调递增, 最多一个零点,不符合题意。所以 ,又当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增;所从.要使 有两个零点,则有 .设 ,则 ,所以函数 在 上单调递减.又所以存在 ,当 时, .即存在 ,当 时, 即又因为 ,所以实数的最小值等于 2此时,当 时, ,当 时, , 有两个零点.故实数的最小值等于 2.【点睛】本题考查了函数的最值的求法,注意运用导数求得单调区间即可,注意运用分类讨论的思想方法,在求函数的零点问题时,注意运用函数的单调性和零点存在定理,属于难题。