1、高三数学（理科）试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为 ，集合 ， ，则 （ ）R A=x|01bA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】由题意看命题“ ab1”与“ ”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断【详解】若“ ab1”当 a2， b1 时，不能得到“ ”，若“ ”，例如当 a1， b1 时，不能得到“ ab1“，故“ ab1”是“ ”的既不充分也不必要条件，故选： D【点睛】本小题主要考查
2、了充分必要条件，考查了对不等关系的分析，属于基础题7.设 ， ， ，若 ，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由向量的坐标运算得： （0， ） ，由数量积表示两个向量的夹角得：cos ， 可得结=32果.【详解】由 （1， ） ， （1，0） ， 3则 （1+ k， ） ，由 ，则 0，即 k+10，即 k1，即 （0， ） ，设 与 的夹角为 ，则 cos ，又 0，所以 ，故选： A【点睛】本题考查了数量积表示两个向量的夹角、及向量的坐标运算，属于简单题8.第 24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个
3、小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 ，大正方形的面积为 ，直角三角形中较小的锐角为，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为 a，面积为 6 ，列方程组求出直角边得出 sin，代入a2所求即可得出答案【详解】由题意可知小正方形的边长为 a，大正方形边长为 5a，直角三角形的面积为6 ，25a2-a24 =设直角三角形的直角边分别为 x， y且 x y，则由对称性可得 y x+a，直角三角形的面积为 S xy6 ，联立方程组可得 x3a， y4a，sin ，tan = = = ，tan胃 -11+tan胃 34-11+34-17故
4、选： D【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题9.如图所示，正方形的四个顶点 ， ， ， ，及抛物线 和C(1,1)，若将一个质点随机投入正方形 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论【详解】 A（1，1） ， B（1，1） ， C（1，1） ， D（1，1） ，正方体的 ABCD的面积 S224，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S2 1 dx2（ x3） 2（1 ）02 ，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是 43
5、4=13故选： B【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键10.如果 是抛物线 上的点，它们的横坐标 ， 是抛物线 的焦点，若F，则 （ ）A. 2028 B. 2038 C. 4046 D. 4056【答案】B【解析】【分析】由抛物线性质得| PnF| xn+1，由此能求出结果【详解】 P1， P2， Pn是抛物线 C： y24 x上的点，它们的横坐标依次为 x1， x2， xn， F是抛物线 C的焦点，,（ x1+1）+（ x2+1）+（ x2018+1） x1+x2+x2018+2018 2018+20=2038故选：B【点睛】本题考查抛物线中
6、一组焦半径和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用11.已知函数 ，记 ，若 存在 3个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 g（ x）0 得 f（ x）e x+a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可【详解】由 g（ x）0 得 f（ x）e x+a，作出函数 f（ x）和 ye x+a的图象如图：当直线 ye x+a过 A 点时，截距 a= ，此时两个函数的图象有 2个交点，将直线 ye x+a向上平移到过 B（1，0）时，截距 a=-e，两个函数的图象有 2个交点，在平移过程中直
7、线 ye x+a与函数 f（ x）图像有三个交点，即函数 g（ x）存在 3个零点，故实数 a的取值范围是 ，故选： C【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查了函数零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题.12.设 是双曲线 的左右焦点， 是坐标原点，过 的一条直线与双曲O线 和 轴分别交于 两点，若 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）y |OA|=|OF2|A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件得到 = ，连接 A ，在三角形 中，由余弦定理可得 A ，再由双曲线定义 A =2a，可得.【详解】 ，得到| ， = ，又 ，
8、连接OB|= 3|OA|= 3|OF2|A ， ，在三角形 中，由余弦定理可得 A ，F1F2A又由双曲线定义 A =2a，可得 ， = ，故选 D.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.若 满足约束条件 ，则 的最大值为_【答案】5【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解目标函数的最值即可【详解】 x， y满足约束条件 的可行域如图：由 解得 A（1，2） x-y+1=03x+2y-7=0 由可行域可知：目标函数经过可行域
9、 A时，z x+2y取得最大值：5故答案为：5【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查计算能力14.设 ，则 的值为_【答案】1【解析】【分析】分别令 x=0和 x=-1，即可得到所求.【详解】由条件 ，令 x=0,则有=0，再令 x=-1,则有-1= ， ，故答案为 1.【点睛】本题考查二项式定理的系数问题，利用赋值法是解决问题的关键，属于中档题.15.在平面直角坐标系 中 ,已知过点 的直线与圆 相切,且与直xOy M(1,1)线 垂直,则实数 _【答案】【解析】因为 在圆 上，所以圆心与切点 的连线与切线垂直，又知与直线与直线 垂直，所以圆心与切点 的连线
10、与直线 斜率相等，所以 ，故填： a=12 1216.已知函数 ，过点 作与 轴平行的直线交函数 的图像于点 ，过点 作A(a,0)(a0) y P图像的切线交 轴于点 ，则 面积的最小值为_ x B 螖 APB【答案】e2【解析】【分析】求出 f（ x）的导数，令 x a，求得 P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令 y0，可得 B的坐标，再由三角形的面积公式可得 ABP面积 S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值【详解】函数 f（ x） 的导数为 f（ x） ，exa由题意可令 x a，解得 y ，可得 P（ a， ） ，eaa即有切线的斜率为 k ，切线的方程为
11、 y （ x ） ，令 y0，可得 x a1，即 B（ a1，0） ，在直角三角形 PAB中，| AB|1，| AP| ，=eaa则 ABP面积为 S（ a） |AB|AP| ， a0，=12导数 S（ a） ，当 a1 时， S0， S（ a）递增；当 0 a1 时， S0， S（ a）递减即有 a1 处 S取得极小值，且为最小值 e故答案为： e【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数 的最小正周期为 ，将函数
12、的图像向右蟺平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到函数 的图像.（1）求函数 的单调递增区间；（2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，求 面积的最大值.a,b,c g(A2)=0【答案】 （1） （2 ）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 f（ x）的解析式，再根据正弦函数的单调求得函数 f（ x）的单调递增区间（2）先利用函数 y Asin（ x+）的图象变换规律，求得 g（ x）的解析式，在锐角 ABC中，由 g（ ）0，求得 A的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得 bc的最大值，可得ABC面积的最大值【详解】 （1）由题得：函数=，由它的最小正周期为 ，得
13、，由 ，得故函数 的单调递增区间是（2）将函数 的图像向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到函数32的图像，在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ，可得 ， .因为 ，由余弦定理，得 ， ， ，当且仅当 时取得等号.b=c 面积 ，故 面积的最大值为螖 ABC34【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数 y Asin（ x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题18.设 是等差数列，前 项和为 ， 是等比数列，已知 ， ，an n Sn bn S5=5， .b1=a4（1）求数列 和数列 的通项公式；an bn（2）设 ，记 ，求 .Tn【答案】 （
14、1） ， ;（2）【解析】【分析】（1）设数列 的公差为 等比数列b n的公比为 q，由已知列式求得 d，q 及首项，则可求数列 和 bn的通项公式；（2）由（1）知， ，利用错位相减直接求和 .cn=2n-53n【详解】 （1）设数列 的公差为 ，等比数列 的公比为d bn q由已知得： ，即 ，S5=5a1+5脳 42d=5 a1+2d=1又 ，所以 ，a1=-3所以 an=2n-5由于 ，b1=a4=3，b1+b3=3(b2+1)所以 ，即 （ 不符合题意，舍去）3(1+q2)=3(3q+1) q=3所以 ，所以 和 的通项公式分别为 ， .an bn an=2n-5 bn=3n（2）由
15、（1）知， ，cn=2n-53n所以所以上述两式相减，得：= ，-23-2n-23n+1得 .Tn=-1-n-13n【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题19.已知椭圆 ，点 在椭圆 上，椭圆 的离心率是 .C C12（1）求椭圆 的标准方程；C（2）设点 为椭圆长轴的左端点， 为椭圆上异于椭圆 长轴端点的两点，记直线 斜A P,Q C AP,AQ率分别为 ，若 ，请判断直线 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过k1,k2定点，请说明理由.【答案】 （1） （2 ）过定点x24+y23=1 (1,0)【解析】【分
16、析】（1）由点 M（1， ）在椭圆 C上，且椭圆 C的离心率是 ，列方程组求出 a2， b ，由32 12 = 3此能求出椭圆 C的标准方程（2）设点 P， Q的坐标分别为（ x1， y1） ， （ x2， y2） ，当直线 PQ的斜率存在时，设直线 PQ的方程为 y kx+m，联立 ，得：（4 k2+3） x2+8kmx+（4 m212）0，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件得直线 PQ的方程过定点（1，0） ；再验证直线 PQ的斜率不存在时，同样推导出 x01，从而直线 PQ过（1，0） 由此能求出直线 PQ过定点（1，0） 【详解】 （1）由点 在椭圆 上，且椭圆 的离心率是 ，M(
17、-1,32) C C 12可得 ，1a2+94b2=1ca=12 可解得： a2=4b2=3c2=1 故椭圆 的标准方程为 .x24+y23=1（2）设点 的坐标分别为 ，(x1,y1),(x2,y2)（）当直线 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得： ， ，P(1,32) Q(1,-32)（）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，y=kx+m联立 ，消去 得： ，由 ，有 ，4k2+3m2由韦达定理得： ， ，x1+x2=-8km4k2+3故 ，可得： ，k1k2=y1y2(x1+2)(x2+2)=-14可得： ，整理为： ，故有 ，(4k2+1)4m2-124k2+3-(4
18、km+2)8km4k2+3+4m2+4=0化简整理得： ，解得： 或 ，m2-km-2k2=0当 时直线 的方程为 ，即 ，过定点 不合题意，m=2k y=kx+2k y=k(x+2)当 时直线 的方程为 ，即 ，过定点 ，y=kx-k y=k(x-1)综上，由（） （）知，直线 过定点 .(1,0)【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题20.在创新“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）
19、，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ， 近似为这 100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下， “创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：得分不低于 的可以获赠 2次随机话费，得分低于 的可以获赠 1次随机话费；渭 渭每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记 （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 的X分布列与数学期望.附：参考数据与公式： ,若 ，则 ， .【答案】 （1） 0.8185（2 ） 详见解
20、析【解析】【分析】（1）由题意计算平均值，根据 Z N（ ， ）计算 的值；142（2）由题意知 X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值【详解】 （1）由题意得： ， ，渭 =66.2 ，综上，（2）由题意知， ，获赠话费 的可能取值为 20,40,50,70,100；，；的分布列为：【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望以及正态分布等基础知识，也考查了运算求解能力，是中档题21.已知函数 ， ， .f(x)=xex g(x)=a(lnx+x)（1）已知 为函数 的公共点，且函数 在点 处的切线相同，求的值；T(x0,y0) f(x),g(x) f(x),g(x
21、)（2）若 在 上恒成立，求的取值范围.f(x)g(x)【答案】 （1） （2）a=e【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由函数 f（ x） ， g（ x）在点 T处的切线相同，得到 ，且x0ex0=a，从而求出 a的值即可；lnx0+x0=lna（2）令 ，将 a与 0、e 分别比较进行分类，讨论的单调性及最值情况，从而找到符合条件的 a的值.h(x)【详解】 （1）由题意 ， ，f(x)=(x+1)ex g(x)=a(1x+1)点 为函数 的公共点，且函数 在点 处的切线相同，T(x0,y0) f(x),g(x) f(x),g(x) T故 且 ，x00由（2）得： ，x0ex0=a ，
22、，从而 ，x00 x0ex00 a0 lnx0+x0=lna代入（1）得： ， ， .a=alna lna=1 a=e（2）令 h(x)=f(x)-g(x)，当 时， ， 在 单调递增，h(x)0 h(x) ，满足题意；当 时， ， ， ， ， 在 单调递增，需 解得： ，h(x)min=h(1)=e-a0 00，h(x)min=h(x0)=a-a(x0+lnx0)=a(1-lna) ，1-lna0，不恒成立，h(x)min=h(x0)0综上，实数的取值范围是 .【点睛】本题考查了导数的几何意义及函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题请考生在 22、23
23、 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数， ） ，以坐标原点 为xOy O极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 .x C（1）求直线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；C（2）已知直线与曲线 交于 两点，且 ，求实数的值.C |AB|= 7【答案】 （1） 的普通方程 ； 的直角坐标方程是 ；（2 ）C【解析】【分析】（1）把直线 l的标准参数方程中的 t消掉即可得到直线的普通方程，由曲线 C的极坐标方程为 2 sin（ ） ，展开得 （sin+cos） ，利用 即可得2出曲线
24、 的直角坐标方程；C（2）先求得圆心 到直线 的距离为 ，再用垂径定理即可求解C d【详解】 （1）由直线的参数方程为 ，所以普通方程为x=2+ty=1-at ax+y-2a-1=0由曲线 的极坐标方程是 ，C所以 ，所以曲线 的直角坐标方程是C x2+y2-2x-2y=0（2）设 的中点为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则 ，M |MA|=72圆 ，则 ， ，C:(x-1)2+(y-1)2=2 r= 2,d=|MC|= r2-|MA|2= 2-74=12由点到直线距离公式， d=|a+1-2a-1|a2+1 = |a|a2+1=12解得 ，所以实数的值为 .【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角
25、坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）若不等式 的解集为 ，求的值；f(x)5（2）当 时，求 的解集.a=1【答案】 （1） ；（2 ）【解析】【分析】（1）通过讨论 a的范围，求出不等式的解集，结合对应关系求出 a的值即可；（2）代入 a的值，通过讨论 x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可【详解】 （1）由 得 ，-5ax-15 -4ax6当 时， -4ax6a由 ，得 ，6a=3-4a=-2 a=2当 时，6ax-4a由 ，无解6a=-2-4a=3 所以 .a=2（2） f(2x)-f(x)=|2x-1|-|x-1|当 时，原不等式化为 ，所以 ；当 时，原不等式化为 ，所以 （舍） ；12x1当 时，原不等式化为所以，不等式的解集为 .【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题
