1、试卷类型:A唐山市 20182019 学年度高一年级第一学期期末考试数 学 试 卷本试卷分第卷(12 页,选择题)和第卷(38 页,非选择题)两部分,共 150分 考试用时 120 分钟第卷(选择题,共 60 分)注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合 , ,则 M N( )A. 0,3 B. 3,0 C. (0,3) D.
2、 (3,0)【答案】D【解析】【分析】解方程组 即可求出 MN 的元素,从而得出 MN【详解】解 得, ;MN (3 ,0)故选:D【点睛】本题考查描述法表示集合的方法,以及交集的定义及运算2.已知 , 是第四象限角,则 的值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出 sin的值,即可确定出 tan的值【详解】cos , 为第四象限角,sin ,则 tan 故选:D【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键3.若幂函数 的图象经过点 ,则 ( )A. B. C. 3 D. 93【答案】B【解析】【分析】利用待定系
3、数法求出幂函数 yf (x)的解析式,再计算 f(3)的值【详解】设幂函数 yf(x)x ,其图象经过点 ,2 ,解得 ,f(x) ,=x12= xf(3) 故选:B【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题,是基础题4.下列函数中,既存在零点又是偶函数的是( )A. ylnx B. y cosx2 C. ysin(2x ) D. yx 21【答案】C【解析】【分析】根据题意,依次分析选项,综合即可得答案【详解】根据题意,依次分析选项:对于 A,ylnx,是对数函数,不是偶函数,不符合题意;对于 B,ycosx+2,是偶函数,但 ycosx+20 恒成立,不存在零点,不符合题意;对于 C,ysi
4、n(2x )cos2x,是偶函数且存在零点,符合题意;对于 D,yx 2+1,是偶函数,但 yx 2+10 恒成立,不存在零点,不符合题意;故选:C【点睛】本题考查函数的零点以及函数的奇偶性,关键是掌握常见函数的奇偶性以及图象性质,属于基础题5.已知向量 , ,若 ,则实数 t( )A. B. C. 2 D. 2【答案】D【解析】【分析】根据 即可得出 1(t) 120,解出 t 即可【详解】 ;t20;t2故选:D【点睛】涉及平面向量的共线(平行)的判定问题主要有以下两种思路:(1)若 且 ,则存在实数,使 成立;(2)若 ,且 ,则 .6.已知 a ,b ,c ,则( )A. cba B.
5、 cab C. abc D. acb【答案】C【解析】【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较 a,b,c 与 0 和 1 的大小得答案【详解】alog 0.22.1log 0.210,0b0.2 2.10.2 01c2.1 0.22.1 01abc故选:C【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值 的0,1应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小7.函数 的零点所在的一个区间是( )A. (
6、1,2) B. (0,1) C. (1,0) D. (2,1)【答案】C【解析】【分析】依次代入区间的端点值,求其函数值,由零点判定定理判断【详解】f(2)3 2 +2(2) 40,f(1)3 1 +2(1) 20,f(0)10,f(1)3+20,f(2)9+40,f(1)f(0)0,故选:C【点睛】本题考查了函数零点的判断,考查零点存在性定理,属于基础题8.已知 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值【详解】 , cos( )cos ( )sin( ) 故选:B【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式的应用,是基础题9.
7、在同一直角坐标系中,函数 , 的图象可能是( g(x)=logax) A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质,对选项中的图象逐个分析,【详解】对于 A 项,对数函数过(1,0)点,但是幂函数不过(0,1)点,所以 A 项不满足要求;对于 B 项, 幂函数 ,对数函数 ,所以 B 项不满足要求;a1 0a1对于 C 项,幂函数要求 ,而对数函数要求, ,所以 C 项不满足要求;对于 D 项,幂函数与对数函数都要求 ,所以 D 项满足要求;故选 D.【点睛】该题考查的是有关函数图象的选择问题,在解题的过程中,需要对相应的函数的图象的走向了如指掌,注意参数
8、的范围决定着函数图象的走向,再者就是在同一坐标系中两个函数的图象对应参数的范围必须保持一致.10.已知函数 f (x )Asin(x )(A0, 0, )的图象如下,则点 的坐标是( )A. ( , ) B. ( , )C. ( , ) D. ( , )【答案】C【解析】【分析】由函数 f(x)的部分图象求得 A、T、 和 的值即可【详解】由函数 f(x )A sin(x+)的部分图象知,A2,T2(41)6, ,又 x1 时,y2, 2k,k Z; 2k,k Z;又 0 , ,点 P( , ) 故选:C【点睛】已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期 求(3)利用“五点法”中相对
9、应的特殊点求 .11.已知函数 f (x ) 的图象向左平移 个单位后,得到函数 yg(x) 的图象,下32cos2x+12sin2x列关于函数 yg( x)的说法正确的是( )A. 图象关于点( ,0)对称 B. 图象关于直线 对称C. 在区间 单调递增 D. 最小正周期为【答案】A【解析】【分析】辅助角公式得:f(x ) sin(2x ) ,三角函数的对称性、单调性及周期=32cos2x+12sin2x=性逐一判断即可【详解】由 f(x ) sin(2x ) ,将函数 f(x) sin(2x )的图象向左平移 个单位后,得到函数 yg(x)的图象,则 g(x)sin2(x ) sin(2x
10、 ) ,令 2x k,解得:x (kz )当 k0 时,函数图象对称点为:( ,0) ,故选项 A 正确;令 2x k ,解得:x (kz ) ,解方程 (kz) ,k 无解,故选项 B 错误令 2k 2x ,解得:k (kz)即函数增区间为:k ,k (kz) ,则函数在区间 单调递减,故选项 C 错误,由 T ,即函数的周期为:,故选项 D 错误,综合得:选项 A 正确;故选:A【点睛】函数 的性质(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由 求增区间;由 求减区间.12.定义在 R 上的偶函数 f (x)满足 f (x2) f (x),当 时, f (x)x3, 则( )A. B. C
11、. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件可知,f(x )的周期为 2,可设 x0,1,从而得出 4x3 ,4,这样即可得出f(x)f(4x )1x ,得出 f(x)在0,1上单调递减,从而可判断每个选项的正误【详解】f(x +2)f(x ) ;f(x)的周期为 2,且 f(x)是偶函数,x 3,4 时,f(x)x3;设 x0,1,则 4x3 ,4;f(x)f(x4)f(4x)4x31x ;f(x)在0 , 1上单调递减;sin1,cos10,1,且 sin1cos1;f(sin1)f(cos1) 故选:A【点睛】本题考查了函数值大小的比较,涉及到函数的奇偶性,周期性,单调性等知识.第卷(非
12、选择题,共 90 分)注意事项:1第卷共 6 页,用 0.5mm 黑色签字笔直接答在试题卷上2答题前将密封线内的项目填写清楚二、 填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填写在题中横线上13.已知向量, 满足 , ,若 , 则 _ 【答案】5【解析】【分析】根据 即可得到 ,再由 即可求出 ,从而可得出 的值【详解】 ; ,且 ; ; 故答案为:5【点睛】本题考查向量垂直的充要条件,向量的数量积运算,向量长度的概念14.已知 ,则 _tan伪 =2【答案】25【解析】分析:先对 弦化切,再代入 求结果.详解:因为 ,所以 sin伪 cos伪 =222+1=25.点睛:应用三
13、角公式解决问题的三个变换角度(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦” 、“升幂与降幂”等.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换” 、“逆用变用公式”、 “通分约分”、 “分解与组合”、 “配方与平方”等.15.函数 f (x) 值域为 R,则实数 a 的取值范围是_【答案】a2【解析】【分析】由题意讨论 x1 时,函数 y 是单调减函数,且 y2;x1 时,函数 y 应为单调增函数,且y2;由此求得 a 的取值范围【详解】由题
14、意知,当 x1 时,函数 yx 2+2x+1 是单调减函数,且 y2;当 x1 时,函数 ylog a(x+3)应为单调增函数,且 y2; ,解得 a2;实数 a 的取值范围是 a2故答案为:a2【点睛】本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题,是基础题16.函数 f (x) (6x10)的所有零点之和为_【答案】16【解析】【分析】构造函数 g(x)( ) |x2| ,h(x)2cos ,由于6x10 时,函数 g(x) ,h(x)12的图象都关于直线 x2 对称,可得函数 f(x)在6x10 的图象关于直线 x2 对称运用6x10 时,函数 g(x) ,h(x )的图象的交点共有 8 个,
15、即可得到 f(x)的所有零点之和【详解】构造函数 g(x)( ) |x2| ,12h(x)2cos ,6x10 时,函数 g(x) ,h(x )的图象都关于直线 x2 对称,函数 f(x)( ) |x2| +2cos12(6x10)的图象关于直线 x2 对称6x10 时,函数 g(x) ,h(x )的图象的交点共有 8 个,函数 f(x)的所有零点之和等于 4416故答案为:16【点睛】本题考查函数的零点,解题的关键是构造函数,确定函数图象的对称性及图象的交点的个数三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知角 的终边经过点 P( , )12 32
16、(1)求 sin的值;(2)求 的值【答案】(1) (2)-2【解析】【分析】(1)根据任意角的三角函数的定义即可求出;(2)根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出【详解】解:(1)因为角 的终边经过点 P( , ),r= (12)2+(32)2=1由正弦函数的定义得 sin (2)原式 ,由余弦函数的定义得 cos ,故所求式子的值为2【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和同角的三角函数的关系,属于基础题18.已知函数 f (x)2(sinxcosx)cosx1(1)求函数 f (x)的最小正周期;(2)当 时,求函数 f (x)的值域【答案】(1) ; (2) 蟺【解析】【分析】(
17、1)求出 f(x )sin2x +2cos2x1sin2x+cos2x sin(2x ) ,由此能求出函数 f(x)的= 2最小正周期;(2)当 x , 时,2x , ,由此能求出函数 f(x)的值域【详解】解:(1)f(x)sin2x 2cos2x1sin2x cos 2x sin(2x )函数 f(x)的最小正周期为 T (2)当 x , 时,2x , ,.当 2x ,即 x 时,f (x)取得最小值1,当 2x ,即 x 时,f(x)取得最大值 ,所以函数 f(x)的值域为 1, 【点睛】本题考查函数的最小正周期的求法,考查三角函数的性质等基础知识,考查化归与转化思想,考查推理论论能力、
18、运算求解能力,是中档题19.如图,平行四边形 ABCD 中,AD1,AB2, DAB60 o,点 M 在 AB 上,点 N 在 DC 上,且 AM AB,DN DC13 12(1)用 和 表示 ; (2)求【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)运用向量的加法可解决此问题;(2)运用数量积的性质和运算可解决此问题【详解】解:(1)在平行四边形 ABCD 中,DN DC所以 ,(2)因为 AM AB所以 ;又因为 AD1,AB 2, DAB60, =12所以 ( )( ) | |2| |2 1 21【点睛】本题考查平面向量的加法运算,平面向量的数量积的性质和运算20.已知函数 f (x )
19、 , g(x)=3e|x|+1(1)求函数 g (x)的值域;(2)求满足方程 f (x) 0 的 x 的值【答案】(1) (1,4 ;(2) xln3【解析】【分析】(1)由指数函数的值域求解函数 g(x)的值域;(2)由 f(x) g(x)0,得 ex 20,对 x 分类求解得答案-3e|x|-【详解】解:(1)g(x) 13( )|x|1,因为|x|0,所以 0( )|x|1,03( )|x|3,即 1g(x)4,故 g(x)的值域是(1,4(2)由 f(x)g(x)0,得 ex 20,当 x0 时,方程无解;当 x0 时,e x 20,整理得(e x)22e x30,(e x1)(e
20、x3)0,因为 ex0,所以 ex3,即 xln3【点睛】本题考查函数值域的求法,考查函数的零点与方程的根的关系,是中档题21.已知奇函数 (1)求实数 a 的值;(2)判断函数 f (x)在 上的单调性,并利用函数单调性的定义证明;(3)当 x2,5 ,时,ln(1+x)m ln(x1) 恒成立,求实数 m 的取值范围【答案】(1) a1; (2) f(x)在(1, )上为减函数;(3) mln32【解析】【分析】(1)利用函数的奇偶性的定义,推出结果即可;(2)利用函数的单调性的定义证明即可;(3)推出 m 的表达式,利用函数的单调性求解函数的最值,推出结果即可【详解】解:(1)f(x)是
21、奇函数, f(x )f (x),即 ln ln ,即(a 21)x 20,得 a1,经检验 a1 时不符合题意,a1(2)f(x)ln ,f(x)在(1,)上为减函数下面证明:任取 x1,x2(1,) ,且 x1x 2,f(x1)f (x2)ln ln ln( )lnx1x 2,x2x 10, 1,f(x1)f(x 2)0 ,f(x1)f(x 2),f(x)为(1,)上的减函数(3)由已知得 mln(1x )ln( x1) ,即 mln 由(2)知 f(x)ln 在2,5上为减函数则当 x5 时,( ln )min于是 .mln32【点睛】本题考查函数恒成立函数的奇偶性以及函数的单调性的应用,
22、考查转化思想以及计算能力22.如图,已知单位圆 O,A(1,0),B(0,1),点 D 在圆上,且 AOD ,点 C 从点 A 沿圆弧运动到点 B,作 BE OC 于点 E,设 COA.(1)当 时,求线段 DC 的长;(2) OEB 的面积与 OCD 面积之和为 S,求 S 的最大值 螖 螖【答案】(1) (2) 334【解析】【分析】(1)根据题意,分析可得当 时,COD ,由余弦定理分析可答案;(2)根据题意,由COA,利用 表示OEB 的面积与 OCD 面积,进而可得S sincos (sin +cos) ,令 tsin +cos,运用换元法分析可得答案+24【详解】解:(1) ,CO
23、D ,ODC ,DC .(2)COA,OBE,OE sin,BEcos, SOEB sincos,方法一:因为AOD ,COA所以COD ,OCOD1,取 CD 中点 H,则 OHCD,DOH ,DHsin ,OHcos ,所以 SOCDcos sin sin( ) (sincos)方法二:作 CM ,OEB 的面积与 OCD 面积之和 S sincos (sincos ),令 tsincos ,0, ,则 t1, 且 sincos 所以 S t (t2 t1) (t )2 ,因为 t1, ,当 t 时,S 取得最大值,最大值为 【点睛】本题考查三角函数的建模问题,涉及三角函数的最值和余弦定理的应用,注意用 表示)OEB 的面积与OCD 面积之和