1、中华资源库 3-2-2 三角恒等式的应用命题方向 1 讨论三角函数的性质1.已知函数 f(x)sin 2xasinxcosxcos 2x，且 f 1.(4)(1)求常数 a 的值及 f(x)的最小值；(2)当 x 时，求 f(x)的单调增区间 解析 (1)f 1，0，2 (4)Z 来源：sin 2 asin cos cos 2 1，解得 a2.f(x)4 4 4 4sin 2x 2sinxcosxcos 2xsin2x cos2 x sin .2 (2x 4)当 2x 2k (kZ )，4 2即 xk (k Z)时，sin 有最小值1，则 f(x)的最小值为 . (2)令8 (2x 4) 22
2、k 2x 2k (kZ )，2 4 2整理得 k xk (kZ )；8 38又 x ，则 0x .0，2 38f(x)的单调增区间是 .2.已知函数 f(x)cos 4x2sinxcosx sin 4x.0，38(1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 x0 ， ，求 f(x)的最大、最小值2解析 f(x) cos 4x2sinx cosxsin 4x(cos 2xsin 2x)(cos2xsin 2x)sin2x cos2 xsin2x cos(2x )(1)由 f(x)的表达式知，f (x)的最小正周期24T .(2)因为 x0， ，所以 2x ， 当 2x 时，cos(2 x )取得最
3、大值22 2 4 4 54 4 4 4；当 2x 时，cos(2 x )取得最小值1.所以，f(x )在0， 上的最大值为 1，最小值22 4 4 2为 .2中华资源库命题方向 2 在实际中的应用1.要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？分析 用三角函数表示长方形的面积，转化为求三角函数式的最大值解析 如图，设圆心为 O，长方形截面面积为 S，AOB，则ABR sin，OBRcos，S(Rsin )2(Rcos)中华资源库 2R 2sincosR 2sin2.当 sin2 取最大值，即 sin21 时，长方形截面积最大，不难推出， 时，长方形4截面面积最大，最大截面面积等于 R2.中华资源库 2.如图所示，要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才使OAB 的周长最大？分析 用AOB 表示OAB 的各边长，转化为求三角函数式的最大值 解析 设AOB ， OAB 的周长为 l，则 ABRsin ，OB R cos，lOAOB ABRRsin Rcos R(sin cos)R Rsin R.2 ( 4)0 ， .2 4 434l 的最大值为 RR( 1)R，此时， ，即 ，即当 时，OAB2 24 2 4 4的周长最大.
