1、第一章 单元综合检测 (二)(时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题1若物体的运动规律是 sf(t)，则物体在时刻 t0 的瞬时速度可以表示为( )(1) ；limt 0ft0 t ft0t(2) ；limt 0ft0 ft0 tt(3)f(t 0)；(4)f(t) A. (1)(2) B. (1)(3)C. (2)(3) D. (2)(4)解析：根据瞬时速度的概念及导数的意义易知(1)(3)正确，故选 B.答案：B2已知曲线 y2ax 21 过点( ，3) ，则该曲线在该点处的切线方程为( )aAy4x1 By 4x1Cy 4x11 Dy4x7解析：曲线过点( ，3)，32a 2
2、1，a1.a切点为(1,3)由导数定义可得 y4ax4x，该点处切线斜率为 k4.切线方程为 y34( x1)，即 y4x1.答案：B3任一作直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s3t t 2，则物体的初速度是( )A0 B3C2 D32t解析：物体的初速度即为 t 0 时物体的瞬时速度，即函数 s(t)在 t0 处的导数s(0) s| t0 (32t)| t0 3.答案：B4下列求导正确的是( )A( )lnxx lnx 1xB(xex 2) ex 2(12x 2)C(6cos x)6sinxD( lnx)xx 22x解析：按导数的运算法则，结合基本初等函数的导数公式计算可知答
3、案为 D.答案：D5如图所示，在一个长为 ，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 ysinx(0x)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点( 该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是 ( )A. B. 1 2C. D. 4 3解析：S 阴影 sinxdx(cosx )Error!2，S 矩 22.故事件发生概率0P ，故选 A.S阴 影S矩 22 1答案：A6对任意的 xR ，函数 f(x)x 3ax 27ax 不存在极值点的充要条件是( )A. 0a21 B. a0 或 a7C. a21 D. a0 或 a21解析：f(x) 3
4、x 22ax 7a， 当 4a 284a0，即 0 a21 时，f ( x)0 恒成立，函数不存在极值点答案：A7设函数 f(x)x max 的导函数 f(x)2x1，则 f(x)d x 的值等于( )21A. B.56 12C. D.23 16解析：由于 f(x)x max 的导函数为 f(x)2x1，所以 f(x)x 2x，于是f(x)dx (x2x)dx2121( x3 x2)Error! .故选 A.13 12 56答案：A8函数 f(x)x 3ax 2 在区间 (1，)内是增函数，则实数 a 的取值范围是( )A3，) B3，)C(3，) D( ， 3)解析：f(x) 3x 2a.令
5、 3x2 a0，则 a3x 2，x(1，)，a3.答案：B9下列等式成立的是( )A. 0dxbabaB. xdxba 12C. 1|x|dx2 |x|dx1 10D. (x1)d x xdxbaba解析：由积分的几何意义及性质得 0dx0，bay|x |是偶函数，故 C 显然正确答案：C102014辽宁高考当 x2,1时，不等式 ax3x 24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A. 5，3 B. 6， 98C. 6，2 D. 4，3解析：当 x(0,1时，得 a3( )34( )2 ，令 t ，则 t1 ，)，1x 1x 1x 1xa3t 34t 2t，令 g(t)3t 34t
6、2t ，t1，) ，则 g(t) 9t 28t1(t1)(9t1)，显然在 1，)上，g(t)0，即 x3, 其中 kZ .由题意，存在整数 k 使得不等式 m21(k )23 成立当12 12k1 且 k0 时，必有(k )21，此时不等式显然不能成立，故 k1 或 k0，此时，12不等式即为 m23，解得 m2.34答案：C二、填空题13若 f(x)Error!，则 1f (x)dx_.1解析： f(x)dx (x )dx (x23)d xError! Error! ( 3) .1 10 110 0 1 10 12 13 236答案：23614如果函数 f(x)x 36bx 3b 在区间(
7、0,1)内存在与 x 轴平行的切线，则实数 b 的取值范围是_解析：存在与 x 轴平行的切线，即 f( x)3x 26b0 有解又x(0,1)，b (0 ， )x22 12答案：(0， )1215如果圆柱的轴截面周长为定值 4，则圆柱体积的最大值为_解析：设圆柱的高为 h，底面半径为 R，根据条件 4R2h4，得 h22R,00)的一个单调递增区间为_f xfx 1x解析：由题意得 yx ( lnx )x 2(1lnx)，由 y0，得 00)13 43f(x) x2 .23 43x 2x 1x 23x由 f(x )0，得 x1 或 x 2.当 f(x)0 时 12.当 x 变化时 f (x)，
8、f( x)的变化情况如下：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，)f(x ) 0 0 f(x) 53 ln283 43因此 f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1) ，(2 ，)函数的极小值为 f(1) ，极大值为 f(2) ln2.53 83 4319(12 分) 2012安徽高考设函数 f(x)ae x b(a0)1aex(1)求 f(x)在0 ， )内的最小值；(2)设曲线 yf(x )在点(2，f(2)处的切线方程为 y x，求 a，b 的值32解：(1)f(x) aex ，1aex当 f(x )0，即 xlna 时，f(x)在( ln a，) 上递增；当 f(
9、x )0，f(x)在(0 ，lna)上递减，在( ln a，) 上递增，从而 f(x)在0， ) 内的最小值为 f( lna)2b；当 a1 时，lna0，f(x) 在0，)上递增，从而 f(x)在0 ，)内的最小值为f(0)a b.1a(2)依题意 f(2)ae 2 ，1ae2 32解得 ae22 或 ae2 (舍去)12所以 a ，代入原函数可得 2 b3，即 b .2e2 12 12故 a ，b .2e2 1220(12 分) 设铁路 AB 长为 50，BC AB，且 BC10，为将货物从 A 运往 C，现在 AB上距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至 C，已知单位距离的铁路运费为
10、2，公路运费为 4.(1)将总运费 y 表示为 x 的函数；(2)如何选点 M 才使总运费最小？解：(1)依题意，铁路 AM 上的运费为 2(50x) ，公路 MC 上的运费为 4 ，100 x2则由 A 到 C 的总运费为y2(50 x) 4 (0 x50) 100 x2(2)y2 (0x50)4x100 x2令 y0，解得 x1 ，x 2 (舍)103 103当 0x 时，y 0.103故当 x 时， y 取得最小值，即当在距离点 B 为 时的点 M 处修筑公路至 C 时总103 1033运费最小21(12 分) 2014重庆高考已知函数 f(x)ae 2xbe 2x cx(a，b，c R
11、)的导函数 f(x) 为偶函数，且曲线 yf( x)在点(0 ，f(0) 处的切线的斜率为 4c.(1)确定 a，b 的值；(2)若 c3，判断 f(x)的单调性；(3)若 f(x)有极值，求 c 的取值范围解：(1)对 f(x)求导得 f( x) 2ae2x2be 2x c ，由 f(x)为偶函数，知 f(x)f(x) ，即 2(a b)(e2x e2x )0，所以 ab.又 f(0)2a2bc 4c ，故 a1，b1.(2)当 c3 时，f(x )e 2xe 2x 3x，那么f(x)2e 2x2e 2x 32 310，2e2x2e 2x故 f(x)在 R 上为增函数(3)由(1)知 f(x
12、)2e 2x2e 2 xc，而 2e2x2e 2x 2 4，2e2x2e 2x当 x0 时等号成立下面分三种情况进行讨论当 c0，此时 f(x)无极值；当 c4 时，对任意 x0，f(x) 2e 2x2e 2x 40，此时 f(x)无极值；当 c4 时，令 e2xt，注意到方程 2t c0 有两根 t1.2 0，2t c c2 164即 f(x )0 有两个根 x1 lnt1 或 x2 lnt2.12 12当 x1x2 时，f(x)0，从而 f(x)在 xx 2 处取得极小值综上，若 f(x)有极值，则 c 的取值范围为(4，) 22(12 分) 2013天津高考已知函数 f(x)x 2lnx
13、.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)证明：对任意的 t0，存在唯一的 s，使 tf (s)；(3)设(2)中所确定的 s 关于 t 的函数为 sg( t)，证明：当 te2 时，有 0，令 h(x)f(x) t，x1， )由(1)知，h(x) 在区间(1 ，) 内单调递增h(1)t 0.故存在唯一的 s(1，)，使得 tf(s) 成立(3)证明：因为 sg( t)，由(2)知，t f(s) ，且 s1，从而 lngtlnt lnslnfs lnslns2lns ，lns2lns lnlns u2u lnu其中 ulns.要使 e2 时，若 sg(t)e ，则由 f(s)的单调性，有 tf (s) f(e)e 2，矛盾所以 se，即 u1，从而 lnu0 成立另一方面，令 F(u)lnu ，u1.u2F(u) ，1u 12令 F(u)0，得 u2.当 10；当 u2 时，F (u)1，F (u)F(2)e2 时，有 .25lngtlnt 12
