1、单元测评( 三) 数系的扩充与复数的引入(时间：90 分钟 满分：120 分)第卷(选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分1 “a0”是“复数 zabi(a，bR)为纯虚数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：复数 zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是 a0 且b0.答案：B2复数 2ab i(a，bR，i 是虚数单位) ，则 a2b 2 的值(1 i2)为( )A0 B1C 2 D1解析： 2 iabi.(1 i2) 1 2i i22所以 a0，b1，所以 a2b 2011.答案：D3已知复数 z134i，z 2ti
2、，且 z1 是实数，则实数 t 等于( )z2A. B.34 43C D43 34解析：z 1 (34i)(ti)(3 t4)(4t3)i，因为 z1 是实数，z2 z2所以 4t30，所以 t .34答案：A4如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是12i ，2i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )A3i B3iC 1 3i D13i解析： 12i2i13i ，所以 C 点对应的OC OA OB 复数为13i.答案：D5设 zC，若 z2 为纯虚数，则 z 在复平面上的对应点落在 ( )A实轴上 B虚轴上C直线 yx(x0)上 D以上三项都不对解析：设 zx yi(
3、x，yR)，则 z2(x yi) 2x 2y 22xyi.z 2 为纯虚数，Error!y x(x0)答案：C6已知复数 zx yi ，满足|z1| x ，那么(x，y R，x 12)z 在复平面上对应的点(x ，y )的轨迹是( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：z x yi(x，yR，x )，满足| z1|x，12(x 1) 2 y2x 2，故 y22x1.答案：D7当 z 时，z 100z 501 的值等于( )1 i2A1 B1C i Di解析：z 2 2 i.(1 i2) 2i2z 100z 50 1( i) 50(i) 251i 50i 251i.答案：D8复数 z 在复平面内
4、对应的点为 A，将点 A 绕坐标原点，按逆时针方向旋转 ，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到 B 点，2此时点 B 与点 A 恰好关于坐标原点对称，则复数 z 为( )A1 B1C i Di解析：设 zabi，B 点对应的复数为 z1，则 z1(abi)i1i ( b1) (a 1)i ，点 B 与点 A 恰好关于坐标原点对称，Error!Error!z1.答案：B9如果复数 z 满足|zi|zi|2，那么|z1i| 的最小值是( )A1 B. 2C 2 D. 5解析：|zi|zi|2，则点 Z 在以(0,1)和(0，1) 为端点的线段上，| z1i|表示点 Z 到点(1，1) 的距离
5、由图知最小值为 1.答案：A10设 z1，z 2 是复数，则下列结论中正确的是( )A若 z z 0，则 z z21 2 21 2B |z1z 2| z21 z2 4z1z2C z z 0z 1z 2021 2D|z | 1|221 z解析：A 错，反例：z 12i，z 22i；B 错，反例：z 12i ，z 22i ；C 错，反例：z 11，z 2i；D 正确，z 1abi，则|z |a 2b 2，| |2a 2b 2，故|z | |2.21 z1 21 z1答案：D第卷(非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分11在复平面内，已知复数 zx i
6、所对应的点都在单位圆内，13则实数 x 的取值范围是_解析：z 对应的点 Z 都在单位圆内，(x， 13)|OZ |1，即 1.x2 ( 13)2x 2 1 ，x 2 ， x .19 89 223 223答案： x 223 22312定义运算 adbc ，则对复数 zx yi(x，y R)符合|a bc d|条件 32i 的复数 z 等于_|z 1z 2i|解析：由定义运算，得 2ziz32i ，|z 1z 2i|则 z i.3 2i 1 2i 3 2i 1 2i 1 2i 1 2i 15 85答案： i15 8513设 x， y 为实数，且 ，则x1 i y1 2i 51 3ixy _.解析
7、： x1 i y1 2i 51 3i x1 i1 i1 i y1 2i1 2i1 2i x(1i) y(12i) (1 3i)Error!解得Error!所51 3i1 3i1 3i 12 15 12以 xy4.答案：414已知复数 z032i，复数 z 满足 zz03zz 0，则复数z_.解析：z 1 i.z0z0 3 3 2i2i 3i 2 2 32答案：1 i32三、解答题：本大题共 4 小题，满分 50 分15(12 分) 已知复数 z1 满足(z 12)i1i，复数 z2 的虚部为 2，且 z1z2 为实数，求 z2.解：由(z 12)i1i 得，z12 (1i)( i)1i，1 i
8、iz 1 3i.(6 分)依题意可设 z2x 2i(x R)，则 z1z2(3 i)(x2i)3x 2(6x)i 为实数，x6， z262i.(12 分)16(12 分) 设 z1 是方程 x26x250 的一个根(1)求 z1；(2)设 z2ai( 其中 i 为虚数单位， aR) ，若 z2 的共轭复数 满z2足|z |125 ，求 z .31z2 5 2解：(1) 因为 6 242564，所以 z134i 或 z134i.(4分)(2)由|(34i) 3(ai)| 625，得 125 125 ，a2.(8 分)a2 1 5当 a2 时，z (2i) 234i；(10 分)2当 a2 时，z
9、 (2i) 234i.(12 分)217(12 分) 设 w i，12 32(1)求证： 1ww 20；(2)计算： (1ww 2)(1ww 2)解：(1) 证明： w i，12 32w 2( i)212 32 2( )( i)( i)214 12 32 32 i i.14 32 34 12 321ww 21 i i0.12 32 12 32(6 分 )(2)由 1ww 20 知，( w1)(1ww 2)0，w 310，w 31.(1 ww 2)(1w w2)(2w 2)(2w)4w 34.(12 分)18(14 分) 设 z1，z 2C，(1)求证： |z1z 2|2|z 1z 2|22|z
10、 1|22|z 2|2；(2)设|z 1|3，|z 2|5，|z 1z 2|6，求|z 1z 2|.解：(1) 证明：设 z1abi，z 2cdi(a，b，c，dR )，则|z 1z 2|2|z 1z 2|2|(ac)( bd)i| 2|( ac )(bd)i| 2(a c)2 (bd) 2(ac) 2(bd) 22a 22c 22b 22d 22( a2b 2)2(c 2d 2)，又 2|z1|22|z 2|22( a2 b2)2( c2d 2)，故|z 1z 2|2|z 1z 2|22| z1|22|z 2|2.(7 分 )(2)|z 1z 2|2|z 1z 2|22|z 1|22|z 2|2，6 2|z 1z 2|223 225 2.|z 1z 2|2683632.|z 1z 2|4 .(14 分 )2
