1、单元测评(三) 推理与证明(A 卷)(时间：90 分钟 满分：120 分)第卷(选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分1下面几种推理是合情推理的是( )由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180归纳出所有三角形的内角和都是 180；由 f(x)sinx ，满足 f(x)f(x )，xR，推出 f(x)sin x 是奇函数；三角形内角和是 180，四边形内角和是 360，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.A BC D解析：合情推理分为类比推理和归纳推理，是类比推理，是归纳推理，是演绎推理答案：C2命题
2、“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论” ，但大前提错误D使用了“三段论” ，但小前提错误解析：大前提错误，小前提正确答案：C3用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 60”时，应假设( )A三角形的三个内角都不大于 60B三角形的三个内角都大于 60C三角形的三个内角至多有一个大于 60D三角形的三个内角至少有两个大于 60解析：其假设应是对“至少有一个角不大于 60”的否定，即“都大于 60”答案：B4已知命题 122 22 n1 2 n1 及其证明：(1)当 n1 时，左边
3、1，右边2 111，所以等式成立；(2)假设 n k 时等式成立，即 122 22 k1 2 k1，则当nk 1 时， 122 22 k1 2 k 2 k1 1，所以1 2k 11 2nk 1 时等式也成立由(1)(2)知，对任意的正整数 n 等式都成立则以下说法正确的是( )A命题、推理都正确B命题正确、推理不正确C命题不正确、推理正确D命题、推理都不正确解析：命题正确，但证明 nk1 时没有用到归纳假设，推理不正确答案：B5观察下列各式：ab1，a 2b 23，a 3b 34，a 4b 47，a 5b 511，则a10b 10( )A28 B76C 123 D199解析：设 anb nf(
4、n)，则 f(3)f(1)f(2) 134；f(4)f (2)f (3)3 47；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现 f(n)f (n1)f (n 2)(nN *，n 3)，则 f(6)f(4)f(5)18；f (7)f(5) f(6)29；f(8) f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8) 76；f(10) f(8)f (9)123.所以 a10b 10123.答案：C6由“正三角形的内切圆切于三边的中点” ，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )A各正三角形内任一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，
5、即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心答案：C7设正数 x，y 满足 log2(xy3)log 2xlog 2y，则 xy 的取值范围是( )A(0,6 B6，)C 1 ，) D(0,1 7 7解析：xy3xy 2(x y) 24(xy )120，故(x y2 )xy 6，当且仅当 xy 3 时等号成立答案：B8已知数列a n的前 n 项和 Snn 2an(n2)，而 a11，通过计算 a2，a 3，a 4，猜想 an等于( )A. B.2n 12 2nn 1C. D.22n 1 22n 1解析：S nn 2an(a2) ，a 11，S 24a 2a 1
6、a 2a 2 .13 232S39a 3a 1a 2a 3a 3 .a1 a28 16 243S416a 4a 1a 2a 3a 4a 4 .a1 a2 a315 254猜想 an .2nn 1答案：B9若函数 f(x)x 22xm(x R)有两个零点，并且不等式 f(1x )1 恒成立，则实数 m 的取值范围为( )A(0,1) B0,1)C (0,1 D0,1解析：f(x)x 22x m 有两个零点，44m0，m0，不等式 x 2，x 3，x 4，可推1x 4x2 27x3广为 x n1，则 a 的值为( )axnAn 2 Bn nC 2n D2 2n2解析：由 x 2，x x 3，x x
7、 4，1x 4x2 22x2 27x3 33x3可推广为 x n 1，故 an n.nnxn答案：B第卷(非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分11在ABC 中，D 为 BC 的中点，则 ( )，将命题AD 12AB AC 类比到三棱锥中得到的命题为_答案：在三棱锥 ABCD 中，G 为BCD 的重心，则 ( )AG 13AB AC AD 12如图，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来(n 1,2,3， )，则第 n2( n2)个图形中共有_个顶点解析：设第 n 个图形中有 an个顶点，则 a1333，a 2444，an(n 2) (n2)
8、(n2)，a n2 n 2n.答案：n 2n13已知 x，y R，且 xy2，则 x，y 中至少有一个大于 1，在用反证法证明时，假设应为_解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有” ，即“x，y 均不大于 1”，亦即“x1 且 y1” 答案：x，y 均不大于 1(或者 x1 且 y1)14若符号“*”表示求实数 a 与 b 的算术平均数的运算，即 a*b，则 a( b*c)用含有运算符号“*” 和“” 表示的另一种形式是a b2_解析：a(b*c)a (ab)b c2 2a b c2 a b a c2*(a c)答案：(ab)*(ac)三、解答题：本大题共 4 小题，满分 50 分15(12
9、 分) 设 f(x)x 2ax b，求证：| f(1)|、|f (2)|、| f(3)|中至少有一个不小于 .12证明：假设|f(1)|0， a11.S2a 1a 2 ，得 a 2a 210，12(a2 1a2) 2a 2 1，S 3a 1 a2a 3 .212(a3 1a3)得 a 2 a310， a 3 .4 分23 2 3 2(2)猜想 an (nN *)n n 1证明如下：n1 时，a 1 命题成立； 6 分1 0假设 nk 时，a k 成立，k k 1则 nk1 时，ak 1 Sk1 Sk ，即12(ak 1 1ak 1) 12(ak 1ak)ak 1 12(ak 1 1ak 1) 12( k k 1 1k k 1) .12(ak 1 1ak 1) ka 2 ak1 10.a k1 .2k 1 k k 1 k即 nk1 时，命题成立 .12 分
