1、高斯型求积公式,高斯型求积公式,第五节,主要内容,在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公式的代数精度,去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么结果？,高精度求积公式,一.高斯型求积公式,对于插值型求积公式，只要节点xk确定,则相应的求 积系数为,Ak,xk (k=1,2,n)均为待定参数,则可使求积公式的具有2n-1次代数精度,2.常见的Guass型公式,4位有效数字,T2=0.9207355, 1位有效数字,如果Guass点位置确定，则可以通过Newton-Cotes公式确定求积系数Ak,困难,Guass公式可以通过求解2n阶非线性方程
2、组，确定待定参数，构造求积公式,降低难度,关键：确定Guass点,考察Guess点的性质,定理：,插值型求积公式,证明：,必要性：,高斯求积定理,充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正交，则其零点必为Guass点,高斯求积定理,代数精度至少 为2n-1,因此 为Guass点,定义：,勒让德多项式,解：,用三个节点的高斯勒让德公式,用Gauss型求积公式计算积分近似值时，Gauss点与求积系数都是预先给出的，,例 题 1,Guass-Legendre多项式的Guass点及求积系数,解：作变换,若用n=2的Gauss-Legendre公式，则,例 题 2,若用n=3的Gauss-Le
3、gendre公式，则,例 题 2,四.Guass型公式的余项,定理,分别用不同方法计算如下积分,并做比较,各种做法比较如下： 一、Newton-Cotes公式,当n=1时，即用梯形公式， 当n=2时, 即用Simpson公式, 当n=3时, I=0.9461090 当n=4时, I=0.9460830 当n=5时, I=0.9460831,例 题 3,二:用复化梯形公式 令h=1/8=0.125,三：用复化抛物线公式令h=1/8=0.125,例 题 3,四、 Romberg公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.944513
4、5 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831,例 题 3,五、Gauss公式令x=(t+1)/2,用2个节点的Gauss公式,用3个节点的Gauss公式,例 题 3,此例题的精确值为0.9460831. 由例题的各种算法可知： 对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。 对复化梯形公式有2位有效数字，对复化抛物线公式有6位有效数字。 用复化梯形公式，对积分区间0，1二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。 用Romberg公式对区
5、间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。 用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。,各种方法的比较,1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。,2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。,3：Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当 节点增加时，前面的计算的函数值不能被后面利 用。计算过程比较麻烦，但精度高，特别是对计 算无穷区间上的积分和广义积分，则是其他方法 所不能比的。,本节小结,
