1、第四章 数值积分,4.2 复合求积法,计算机数值方法,2,4.2 复合求积法,在Newton-Cotes公式中，当n较大( )时，Cotes系数有正有负，这将使舍入误差增大.另外，从余项的讨论我们看到，积分区间越小，则求积公式的截断误差也越小.因此，实际计算时不用高阶Newton-Cotes公式，而是将积分区间先等分成若干个子区间，然后在每个子区间上用低阶Newton-Cotes公式计算，最后把它们加起来得到整个区间的积分近似值，这就是复合求积法的基本思想.,3,一、复合求积公式,节点为：,1. 复合梯形公式,由积分的区间可加性,可得：,4,复合梯形公式,5,复合梯形公式分解,6,2. 复合S
2、impson公式,复合Simpson公式,7,复合Simpson公式分解,8,3. 复合Cotes公式,复合Cotes公式,9,例1.,解:,由题意知：a=0,b=1.由复合梯形公式,复合Simpson公式和复合Cotes公式知这三种方法均需用到区间上9个节点上的函数值。,因此将区间8等分，计算9个节点处的函数值，函数值由 计算得来.,需注意的是,10,可得各节点的值如下表,11,分别由复合梯形、Simpson、Cotes公式有,12,原积分的精确值为,精度最高,精度次高,精度最低,比较三个 公式的结果,那么哪个复合求积公式的收敛最快呢？,思考,13,单纯的求积公式,复合求积公式的每个小区间,
3、二、复合求积公式的余项和收敛的阶,14,则复合梯形公式的余项为,由于,复合梯形公式的余项,由介值定理, ,使得,15,又由于当,复合梯形公式 余项的近似式,16,复合Simpson公式的余项,复合Simpson公式 余项的近似式,17,复合Cotes公式的余项,复合Cotes公式 余项的近似式,18,比较三种复合公式的余项,为此引入收敛阶的概念来衡量数值积分公式收敛的快慢,19,定义2.,故复合梯形公式、复合Simpson公式、复合Cotes公式 的收敛阶分别为：,2阶、4阶和6阶,20,三、步长的自动选择,（变步长的复合求积公式）,在数值积分中，精度是一个很重要的问题，复合求积法对提高精度是
4、很有效的.由复合求积公式的余项表达式看到，精度与步长有关. 步长取得太大，精度难以保证，步长太小，则会导致计算量的增加，并且积累误差也会增大，因此使用求积公式之前最好先给出步长.,从理论上讲，可以根据复合求积公式的余项公式或其近似表达式，预先确定出恰当的步长h来.但在实际使用中，由于被积函数的高阶导数很难估计，或者被积函数没有解析表达式，因此这个预估h的方法是不宜使用的.,实际计算中常常采用变步长的求积法，利用计算机自动的选择步长，即在步长逐次分半的过程中，反复利用复合求积公式进行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止.,21,相应的复合梯形公式的余项为,自动选择步长的原理（以复合梯形公式为例）：,设将积分区间a,b等分成n个子区间,其步长为,22,因此有,即,步长折半计算停 止的控制条件,23,步长自动选取的步骤:,依此类推,此时最后一次步长就是合适的步长，最后一次算得的积分值就是满足精度要求的积分值I的近似值。,24,同理：,由Simpson公式的余项公式可推出:,由Cotes公式的余项公式可推出:,25,例2.,解:,26,
