1、常微分方程,偏微分方程,含自变量、未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,(本章内容),( n 阶微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,分类,或,微分方程的基本概念,第一节,微分方程,第九章, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解, 不含任意常数的解,定解条件,转化,一阶微分方程,第二节,解分离变量方程,一、可分离变量方程,分离变量方程的解法:,两边积分, 得,则
2、有,其中C为任意常数 。,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例2,分离变量,即,( C 0 ),例3. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,思考与练习,求下列方程的通解 :,提示:,(1) 分离变量,(2) 方程变形为,C为任意正数,C为任意常数,二、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原
3、方程的通解.,解法:,分离变量:,例1. 解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解),( C 为任意常数 ),例2. 解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,(C 为任意常数),三、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为一阶非齐次线性方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为一阶齐次线性方程 ;,的对应齐次方程,2. 解非齐次方程,(1)变量变换法:,令,其中u,v均为待定的关于x的函数,代入到原方程得，,整理得，,令,则有,解得,代入
4、到中得,对应齐次方程通解,(2)常数变易法:,则,故原方程的通解,即,令,两端积分得,非齐次,（1）变量变换法,（2）常数变易法,一、,作变量变换，令,代入原方程。,二、,按u整理方程左端。,三、,令u的系数为0，,求出特定的v。,四、,把v 代入方程，,求出u。,五、,把u,v代入y=uv。,一、,求其对应齐次方程的通解。,二、,将齐次方程的通解中的常数C变成函数C(x),即设出原非齐次方程的通解形式。,三、,将设出的通解形式代入原非齐次方程确定C(x)。,例1. 解方程,解法一：,设,代入原方程得,令,则有,解上方程得,代入到方程得,即,变量变换法,C为任意常数。,其对应的齐次方程为：,即,积分得,即,令,则,代入非齐次方程得,即,故原方程通解为,C为任意常数。,解法二：常数变易法,解得,内容小结,1. 微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2. 可分离变量方程的求解方法:,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,解;,阶;,通解;,特解,4. 一阶线性方程,方法1 变量变换法,方法2 常数变易法,3. 齐次方程的求解方法:,作变量替换 化为可分离变量,
