1、差分方程模型,数理教研部 蔡姝婷,第一节 差分方程基本知识,1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。,引例1： Fibonacci （斐波那契）数列,问题,13世纪意大利著名数学家Fibo
2、nacci在他的著作算盘书中记载着这样一个有趣的问题：一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？,将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列fn满足下列递推关系：f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.,Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱2. 钢琴音阶的排列3. 树的分枝4. 杨辉三角形,引例2：日常的经济问题中的差
3、分方程模型,1）. 银行存款与利率,假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：a0, a1, a2, a3, , an,设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型是：a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,2）. 家庭教育基金,从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需
4、的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?,设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,3） . 抵押贷款,小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元. 他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？,设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则a0=200000,a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x
5、, n=1,2,3,二. 差分的概念与性质,一般地，在连续变化的时间的范围内，变量,关于时间,的变化率是用,来刻画的；,对离散型的变量,我们常用在,规定时间区间上的差商,来刻画变量,的变化率.如果取,，则,可以近似表示变量,的变化率.由此我们给出差分的定义.,定义1,设函数,，称改变量,为函数,的差分，也称为函数,的一阶差分，记为,，即,或,一阶差分的差分,称为二阶差分，即,类似地可定义三阶差分，四阶差分，等等.,一般地，函数,的,阶差分的差分称为,阶差分，记为,，即,二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.,例1 设,，求,，,，,解,例2 设,求,解 设,，则,.,差分满足以下性质：,（2）,
6、（3）,（4）,（1）,例3 求,解 由差分的运算性质，有,.,的差分.,1 差分方程的概念,定义2 含有未知函数,的差分的方程称为差分方程.,或,差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶,差分方程的一般形式：,定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.,例如，对于差分方程,，将,代入方程有,故,是该方程的解，易见对任意的常数,都是差分方程,的解.,如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好,等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.,定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均,为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为,其特点是,都是一次的.
7、,三 . 一阶常系数线性差分方程,一阶常系数差分方程的一般方程形式为,其中,为非零常数，,为已知函数.如果,则方程变为,称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地，,时方程,一阶常系数线性非齐次差分方程.,1一阶常系数线性齐次差分方程的通解,已知，将,代入方程,中，得,则,为方程的解.容易验证，对任意常数,都是方程的解，故方程的通解为,一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.,设,例4 求差分方程,的通解.,解 利用公式得，题设方程的通解为,2一阶常系数线性非齐次差分方程的通解,为齐次方程的通解，,为非齐次方程的一个,为非齐次方程的通解.,，及,将这两式相加得,，即,为非齐次方程的通解.,
8、定理 设,特解，则,证明 由题设，有,（1）,为非零常数,，由,，可按如下迭代法求得特解,给定,齐次方程的通解为,于是方程通解为,时，,当,其中，,为任意常数，且当,时，,为任意常数,例5 求差分方程,的通解.,，故原方程的通解为,解 由于,（2）,（,为非零常数且,）.,时，设,为非齐次方程的特解，其中,为待定系数.将其代入方程,得,解得,，于是，所求特解为,所以,时，方程的通解为,当,当,时，设,为方程的特解，代入方程得,所以，当,时，方程的通解为,例7 求差分方程,在初始条件,时的特解.,利用公式，所求通解为,将初始条件,代入上式，得,故所求题设方程的特解为,解 这里,则被称为n阶齐次线
9、性差分方程 。,若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分方程，即n阶常系数线性差分方程可分成,（7.1）,的形式，其对应的齐次方程为,（7.2）,也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（7.1）也成立。,方程（7.1）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应的特征方程,（7.3）,(C1,Cn为任意常数),，,为任意常数，i=1,2k。,6.6 按年龄分组的人口模型,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同.,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律.,假设与建模,种群按年龄大小等分为n个年龄
10、组，记i=1,2,n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象.,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di,假设 与 建模,xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个bi0),稳定状态分析的数学知识,L矩阵存在正单特征根1，,若L矩阵存在bi, bi+10, 则,P的第1列是x*,特征向量,解释,L对角化,稳态分析k充分大种群按年龄组的分布, 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关., 各年龄组种群数量按同一倍数增减， 称固有增长率,3）=1时, 各年龄组种群数量不变, 1个个体在整个存活期 内的繁殖数量为1,稳态分析,3）=1时,人口模型,连续型人口模型的离散形式,xi(k)k年i 岁的女性人数(模型只考虑女性人口).,bi(k)k年i 岁女性生育率(每人平均生育女儿数).,dii 岁女性死亡率，si=1-di存活率,i1, i2生育区间,k年育龄女性平均生育女儿数,总合生育率(生育胎次),年龄分布向量,hi生育模式,人口模型,存活率矩阵,生育模式矩阵,x(k)状态变量, (k)控制变量,双线性方程(对x(k), (k)线性),原模型,
