1、,-二分法,求函数零点近似解的一种计算方法,我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题,在九章算术,北宋贾宪的黄帝九章算法细草,南宋秦九韶的数书九章中均有记载.,Abel,Galois,在十六世纪,人们已经找到了三次和四次方程的求根公式,但对高于四次的代数方程,类似的努力却一直没有成功.,到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于四次的代数方程不存在求根公式.,下列区间有函数 零点的是( ),忆一忆,B,（1，2）,1.5,f(1.5)0,（1，1.5）,1.25,f(1.25)0,（1.25，1. 5）,1.375,f(1.375)0,（1.2
2、5，1.375）,1.3125,f(1.3125)0,（1.3125，1.375）,探一探,求函数 零点(精确度0.1).,解:,?,?,?,?,函数的零点近似值可取为1.3.,1,0.5,0.25,0.125,0.0625,(精确度0.01),1.34375,中点的值,中点函数值符号,零点所在区间为（1.3125，1.34375），区间端点精确到0.1的近似值都是1.3.,对于在区间a,b上连续不断且f(a) f(b)0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点 所在的区间一分为二,使区间的两个端点 逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 叫做二分法。,二分法,议一议,给定精确度,
3、用二分法求函数f(x)零点近似值的 步骤:,1. 在定义域内取区间a,b,使f(a)f(b)0, 则零点在区间a,b内；,3.计算f(c)：,(2)若 ,(3)若 ,(1)若 ,则c 就是函数的零点;,2.求区间(a,b)的中点 ,记为c;,4.继续实施上述步骤，直到零点所属区间的端点按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个近似值就是函数的近似零点，计算终止。,则此时零点,则此时零点,二分法只能用来求变号零点,辨一辨,A,D,C,B,B,端点函数值异号的区间内有零点,辨一辨, 判断是非,用二分法求 在(1,2)上零 点的近似值时, 算出 ,则此时可 推知零点 .,练一练,借助计算器,用二分法求
4、方程的近似解(精确度0.1).,二分法求方程的近似解,用表格形式表示计算结果,简化解题的叙述过程.,解：令f(x)= , 则f(-2)= -3,f(-1)=4,又函数在定义域内单调递增，所以方程有一个实数解，且在（-2，-1）内,由上表可知，区间的左右端点-1.71875和-1.6875精确到0.1的近似值都是-1.7，因此，-1.7就是所求函数的零点的近似值。,中点函 数值为零,区间端点按精确度 要求近似值相同,转化 思 想,逼 近 思 想,数学 源于生活,数学 用于生活,小结,二分法,数形结合,1.寻找解所在的区间,(1)图像法,(2)试函数值法,2.不断二分解所在的区间,3.根据精确度得
5、出近似解,用二分法求 方程的近似解,探究,从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点， 现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快 断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个 数为 个。,作业,1、书面作业： 必做题：课本P92 习题 3.1A组3、4、5选做题:用二分法求 的近似值 (精确度0.01)。,2、研究性作业利用Internet查找有关资料,了解高次代数 方程的解的研究史料及阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)对数学发展的贡献.,贾宪，北宋人，约于1050年左右完成黄帝九章算经细草，原书佚失，但其主要内容被扬辉（约13世纪中）著作所抄录，因能传世。杨辉详解九章算法（1261）载有“
6、开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”。详解九章算法同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。 贾宪三角在西方文献中称“帕斯卡三角”，1654年为法国数学家 B帕斯卡重新发现。 贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。曾撰写的黄帝九章算法细草（九卷）和算法斆古集（二卷）（斆xio，意：数导）均已失传。 他的主要贡献是创造了“贾宪三角“和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性，这个方法的提出要比欧洲数学家霍纳的结论早七百多年
7、。,（1244年），十一月，秦九韶解官建康通判，回湖州丁母忧，一边为母亲守灵，一边把自己几十年勤奋学习、苦心钻研、实践、总结的数学成就结晶，精选出来的较有代表性的81个问题，分为9类，每类9题，编辑成18卷，淳祐七年，世界最高水平的数学名著数书九章成书。 秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，达到了当时世界数学的最高水平 秦九韶在前人工作的基础上，提出一套完整的利用随乘随加逐步求出高次方程正根的程序，亦称“正负开方术”，现称秦九韶法 这也是“增乘开方法”的主要特点。有人说，计算机发明以后，解方程变得有趣了确
8、实是这样，秦九韶的高次方程数值解法，可以毫无困难地转化为计算机程序。在数书九章中，秦九韶列举了20多个解方程问题，次数最高达10次除一般方法外，还讨论了“投胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”等特 殊情形，并将其广泛应用于面积、体积、测量等方面的实际问题在西方，关于高次方程数值解法的探讨，经历了漫长的历史过程，直到1840年，意大利数学家P鲁菲尼(Ruffini，1765-1822)才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理数根的近似值问题，而1819年英国数学家WG霍纳(Horner，17861837)在英国皇家学会发表的论文“用连续逼近法解任何次数字方程的新方法”中，才提出与增乘开方法演算步骤相同的算法，后被称为“霍纳法”秦九韶的成就要比鲁菲尼和霍纳早五六百年。,探究,求方程 的近似 解(精确度0.01).,探究方程 及的全部 解的和,你由此可以猜想出什么结 论?这结论你可以证明吗?,全部解的和为多少?,
