1、,第 十 一讲. 相干态A. 湮灭算符 的本征态已证得,这类态称为相干态。B. 相干态性质：1. 在该态中位置和动量满足最小测不准关系,于是有,2. 相干态随时间的演化若处于谐振子势的粒子，在 时，处于相 干态 ，则 时，体系的波函数为,于是有这表明 的本征值在 为 ，而在时 刻 为我们有平均值,我们也有平均值,所以，,其中,它随 的演化很接近经典谐振子的运动。,C. 本征值为实的相干态正是受迫振动的基态这时，体系的哈密顿量为于是，我们有其中,如令则 令,它的基态满足而,所以即这表明这时,所以， 是哈密顿量的相干态。,. 表示力学量算符的性质（1）一般运算规则：一个力学量如以算符 表示。它是一
2、运算代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从,例： ，于是,即将体系的几率密度振幅沿x方向移动距离a .A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学 方程是线性齐次方程。由于态叠加原理，所以在量子力学中的算 符应是线性算符。所谓线性算符，即,例如 1.,例如 2. 对不显含时间的薛定谔方程若 ， ，则,量子力学不仅要求力学量算符是线性算符， 而且方程是线性齐次，,方程 就不行。因B. 算符之和： 表示，对任意波 函数进行变换所得的新波函数完全相等，即,C. 算符之积: 表示，对任意波函 数，有 ，则D. 逆算符：算符 将任一波函数若有另一算符 使则称 为 的逆算符，并表为 ，,显然，E. 算符的函数
3、：设： 在x=0处，有各级导数则定义算符的函数,例如: 它有各级导数， 。于是如果函数不能以幂级数表示，则还有算符 函数的自然展开。,（2）算符的对易性一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能 彼此对易。若 , ， 则,所以算符,引入对易子： 和 的对易子对易子有如下性质,并有证： 成立设： n-1成立，即,例： 求,在算符的运算时，要特别小心 。例：如 和 对易，可证明所以,下面是一些有用的对易关系称为Levi-Civita符号。取值 ，为从123ijk的对换数。如123312的对换数2,例：用上述关系可证：例：,对易关系是与坐标选择无关 例：,而另外，对易关系与表象选择无关如,（3）算符的厄
4、密性（Hermiticity）A. 算符复共轭：若对波函数（任意）有则称 为 的复共轭算符，以 表示 例 所以,算符的复共轭就是将算符所有复数量取复 共轭。显然，B. 算符的转置1. 标积定义：若体系有两个波函数，其标积为,显然，对于标积，有性质, 则称这两波函数正交 。,2转置定义：算符 称为算符 的转置算符 即通常以 算符表示算符 的转置算符。即或,例：C. 算符的厄密共轭定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，再转置，（以 表示），,例可证,D. 厄密算符: 若算符的厄密共轭就是它自 身，则称该算符为厄密算符。E. 厄密算符的性质1. 厄密算符相加，减仍是厄密算符；但 厄密算符之积并不一定
5、为厄密算符。,2. 任何状态下，厄密算符的平均值必为实 数3. 在任何状态下，平均值为实的线性算符必为厄密算符。令 , ( ),线性 （1）实数（2）,两式相减得,由于 取任意值，该式都成立，因此该式成立仅 当，即 由于 是任意的，所以 是厄密算符。易证：若 是厄密算符，则 。,4.2 厄密算符的本征值和本征函数（1）算符的本征方程如对大量完全相同的体系作完全相同的测量， 可以发现，测得A1，A2，A3等各有一定的几 率 。而对有一定几率分布（围绕最大几率测量 值）的状态，进行一次测量，其偏差大小可由一 “涨落”来定义，即由方均根来定义。要使“涨落”为零，即测量值只取确定值 ，则,令 这一特殊
6、状态为 我们称上述方程为算符的本征方程。显然，仅当体系处于本征态所描述的状态时， 测量值才是唯一的，即为相应的本征值（这时 “涨落”为0）。,就是体系的能量本征方程。 量子力学第三个基本假设：在量子力学中， 一个直接可观测的力学量，对应于一个线性厄密 算符；当对体系进行该力学量的测量时，一切可 能测得值，只能是算符 的本征方程的本征值。,例1：求轨道角动量在z方向分量的本征值和本征函数。 有解 由于,得要求 是厄密算符（保证本征值为实数）,例2 求绕固定轴转子的能量本征值和本征 函数。 绕固定轴转子的能量本征方程所以,固定转子的能量本征值和本征函数为,（2）力学量算符的本征值和本征函数性质 A. 力学量的每一可取值都是实数（即本征 值）；B. 相应不同本征值的本征函数是正交的证：,
