1、,第四讲. 波函数的性质A. 归一化条件若波函数未归一化。则在区域 中， 发现粒子的几率为,若 则归一化的波函数为例 由已归一化的波函数计算 中的几率,B波函数的自然条件：一般而言，波函数必须连续，有界，单值。 波函数必须连续； 有界：我们讲有界是指 有界，即使是在某些孤立奇点（对于 ）也可能不违背波函数这一性质； 单值：实际上仅需 单值，即 单值； 在位势有限大小的间断处，波函数导数仍连续,C多粒子体系波函数的形式 个粒子体系的波函数为是描述不同的粒子 处于 粒子 处于 的几率。所以，物质粒子波函数一般是在多维空间（位形空间）中的几率波。, . 位置和位能的平均值A位置平均值设： 是归一化波
2、函数，则 的平 均值为B位能平均值（假设位能表示中不依赖动量）,. 动量平均值若描述粒子的波函数为 ，则有可以证明，若 则 。这表明 是 时刻，动量为 的几率密度振幅）,若用 去求 ， 则这表明，如果不用 去求动量平均值，而用 去求 ，则需要引进算符来代替 （ 变量）进行计算。我们称 为粒子的动量算符。,量子力学描述中，引入的算符， ， 对应于经典的位置和动量变量 。然而这些算符不等于经典变量。由上述推论： 求动能平均值（ ），可表为,所以动量即球坐标,柱坐标 角动量 （原则上为 ）,角动量平方算符,这看上去与经典动能在形式上相同，但有 实质的不同。因这是算符形式。另外，就 而 言，经典为径向
3、动量 ，但现在就不同了。（这在后面将讨论）还有,（4）态叠加原理从上面讨论中，我们可以得出：若体系由来描述，则 （已归一） 描述了体系的几率分布或称几率密度。若粒子处于态 中，则测量动量的取值仅为 ， ，而不在 之间取值。对于大量粒子，好像一部 分电子处于 态，另一部分电子处于 态。,但你不能指定某一个电子只处于 态或只处于态。即对一个电子而言，它可能处于态 （即动量为 ），也可能处于态 （即动量 为 ），即有一定几率处于 态，有一定几率 处于 态。由这启发建立量子力学最基本原理之一：A. 态叠加原理： 如果 是体系的一个可 能态， 也是体系的一个可能态，则是体系的可能态，并称 为 和 态的线
4、性叠加态。,说明二点： 对体系测量力学量 时，测得值为 ，认为在未测之前可能处于态 上，则称 是体系的一个可能态；如测得值为 ，认为 也为体系的可能处 的态。因此，体系处的可能态为： 如体系处于 ，那测量力学量 的测得值，可能为 或 ，而不可能为其他 值。而测得 和 的几率分别为 。,态叠加原理是否正确，是以导出的结果是 否正确为依据。B讨论（经典波函数与量子波函数比较） 若 ，经典认 为是一个新的振动态，即以来 描述物理量 在空间的波动，不能说物理量可能作 波 动，或者可能作 波动。但对量子力学来，,说体系可能处于 态，也可能处于 态。但不会处于 态 （ ）。因 测量力学量 所得的测量值是不
5、会为 的。有时在处理物理问题时，常将函数 展 开对经典物理学来说，这仅是一个数学处理，如富 里叶分解。这仅表明有各种波相干。但并不能说， 振荡发生在某一频率上。而量子力学中的态叠加,。,原理则赋于这一展开以新的物理含意：测量力 学量 ，可能测得值仅为 的 值， 其几率 ，即系数 不仅仅是展开系数， 而是正比于取值 的几率振幅。 它反映了一个非常重要的性质。而这在经 典物理学中是很难被接受的。我们知道一个动 量为 的自由粒子是以一个平面波,描述；动量为 的自由粒子是以平面波 描述。但体系（一个自由粒子）也可能处于这两 个态的叠加态上，即体系所处的态为。 可是这个态没有确定的动量 （当你预言动量的
6、 测量值时）。事实上，自由粒子仅反映 ，而不是说，自由粒子的动量只能取某个确定值,，即只能处于态 。它也能处于 的态上。事实上，描述自由粒子状态的最普遍的 形式为而所以，量子力学允许体系处于这样一个态 中，在这个态中，某些物理量没有确定值（而从 经典物理学看，这是不可思议的。）。具有确定动量的自由粒子是以平面波来描述。,但你不能说具有确定动量的自由粒子就是处于平 面波这个状态。这要看你所要观测的物理量。事 实上，大家熟知的而在 中测量角动量 和角动量 分量的测得值为 ， 。 这表明，这一自 由粒子有一定几率处于 态上，其几率为,另外，值得注意的是：在态叠加中重要的是系数， （如 ， 给定）。对
7、于 它完全被 ， 所决定。完全可替代 来描述该态。,所以，重要的是 和 。 态叠加原理的直接后果是要求波函数满足 的方程，必须是线性齐次方程。例. 高斯波包（The Gaussian wave packet）一个质量为 的自由粒子，其 为高 斯分布求：相应的粒子波包,所以，由高斯分布的富氏变换，得到的仍是 一个高斯分布。,这是一个描述 时刻的波函数：位置在区域 动量在区域2.4 含时间的薛定谔方程（Austrian）2526年间，将能量不连续和波动性联系起 来，并将求粒子能量可能值的问题归结为一定边,条件下的本征方程求解问题，随后给出了含时 间的薛定谔方程。这方程给出了描述微观粒子运 动的波函
8、数是怎样演化的。 （1） Schroedingers equation的建立 应该指出，薛定谔方程不是从基本原理导 出来的，它的正确性是靠由它所推出的结果及 预言的正确性来证实的。有确定动量的自由粒子：根据de Broglie关 系和Einstein关系,它应相应于一个de Broglies波由这波函数可得,但这不是普遍适用的方程（因含有一特殊参量） 因而而若则但从另一方面,在这方程中无特殊参量 。它不仅对有 确定动量的自由粒子的波函数成立，对最普遍 的自由粒子的波函数也成立。,而,这一微分方程决定了描述自由粒子状态随 时间的演化。将上述情况推广，对于质量为 的粒子， 在位势 中运动时，则因此
9、，描述这一粒子运动的波函数应满足,最为普遍的方程是：体系的Hamiltonian则称为含时间的Schroedingers equation。但应注意，同一力学量的经典表示，可得不 同的量子力学算符表示,因此，经典的力学量，变为量子力学的力 学量表示（即量子化），即算符时，应注意和 对经典是一样的， 但对量子力学 而言是不同的 。,所以规定： 在直角坐标中表示分量，再代入算符表示； 对于形式为与 线性函数的物理量，则取 （ 为实函数）； 如果是矢量，则 以 直角坐标下的分 量表示，然后再作替换 ，再换为其它 坐标。如,但如从 不对。（2）对Schroedinger equation的讨论A量子力
10、学的初值问题：当体系在 时刻的状态为 时，以后 任何时刻的波函数就完全由S.eq.所决定（因对 是一次偏微商）。这就是量子力学的因果律，,即决定状态的演化。量子力学的因果律是对波函数的确定，它 不像经典力学那样是确定轨道或力学量的测得 值，而是决定状态的演化。如 ，即与时间无关，那 时刻的解可表为（如 时为 ）,如何从 波函数来确定 时刻波函数？ 例如 自由粒子 时刻，已知为 。由于是自 由粒子，在 时，它必是 的叠加态当 给定，则,也就是，当 给定，则 由 定出。我们知 时刻自由粒子的态是由 叠加而成，叠加系数为 （已确定）。所以， 得 t 时刻的波函数 而 下一节中再进一步讨论。 从另一角
11、度讨论：对于自由粒子，直接用, 自由粒子在 时处于态可以证明 而粒子处于 的几率密度为 发现粒子的主要区域在令,所以可得,讨论：a. 波包的扩展如果我们以这个高斯波包来描述（或模拟） 一个物体在 时，它位于，（有一宽度 ）, 而平均动量为 。,在 时刻，其包络线中心位于 。 所 以，包络极大处的速度 称为群速度，即群速度等于粒子速度。 从相位看，如 相位为 相位为 相速度,即也可以计算标准偏差，即发现粒子的主要区域在 （ ）所以，随时间演化，这一高斯波包越来越宽。,设： 当 ，波包已扩散很大，似乎与经典粒子无任何相似之处 。,（以后讨论其物理意义）所以，这样一个显示经典粒子的波包，动量 的分布
12、没有扩展，而空间的分布则扩展，使得你在 时，就认不得经典粒子运动的轨迹 了。这一讨论和结论，对任何其它形状的波包都 相同。下图即为高斯波包的传播,b. 波包扩展的时间量级在实际生活中，对一宏观粒子，我们从来 没有看见它的位置会不确定，这不确定还会扩展， 以至好似消失。 人： ，所以，人活 秒长的时间，人的位置还能 确定。（当 ，才扩散得很大）而,年 秒。 所以，对于经 年仍还可以，即 亿年 因此，量子现象你是看不到的。 尘粒： 克，即经 秒 年 亿年，尘粒仍保 持“经典粒子“轨道运动的图象。, 电子（在原子中） 千克， 米 秒而在波尔的氢原子中，电子绕质子一周所花 的时间 秒。由这看出，电子在
13、原子中不可能是波包形式。,求波函数随时间的演化，也可这样来做。 时刻的波函数，可由 时刻的波函数完全 确定。由于S. eq. 是线性的，因而解能够被叠加。 因此，不同时刻的波函数关系也必须是线性的。 这就意味着， 必须满足线性齐次的微分方程。 即可表为称为Green函数，或称传播子。知道了Green函数，就知道态随时间的演化。,如 时刻，粒子处于 ，即由上式得这就是格林函数的含义： 时刻，粒子处于 ， ，则 时刻， 处发现粒子的几率密度振幅就是。由薛定谔方程我们可直接给出,B粒子数守恒在非相对论的情况下，实物粒子既不产生 也不湮灭，所以在整个空间发现粒子的几率应 不随时间变，即这即要求，凡满足Schrodinger eq.的波函数，必须满足上式。,
